Questão 1 - Calcule a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico de altura h e raio a, supondo que a densidade em cada ponto seja três vezes à distância entre o ponto e a base do sólido.
Passo 1
O enunciado pede a massa e o centro de gravidade de um cilindro reto de altura
e raio
, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância até a base, mais precisamente
, onde
é a cota medida a partir da base. O conteúdo é cálculo de integrais triplas e centro de massa, e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
densidade
e elemento de volume
.
Passo 3
A massa é
Integramos em
e
:
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Pela simetria em
e
temos
. Para
:
Já sabemos
,
e
. Então
Resposta
Massa
.
Centro de gravidade .
Centro de gravidade