Questão 1 - Calcule a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico de altura h e raio a, supondo que a densidade em cada ponto seja três vezes à distância entre o ponto e a base do sólido.

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de gravidade de um cilindro reto de altura h e raio a, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância até a base, mais precisamente \delta(P)=3z, onde z é a cota medida a partir da base. O conteúdo é cálculo de integrais triplas e centro de massa, e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
V=\{(r,\theta,z)\mid 0\le r\le a,\;0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le h\},
densidade \delta(r,\theta,z)=3z e elemento de volume \mathrm dV = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.

Passo 3

A massa é
M = \iiint_V \delta\,\mathrm dV = \int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} 3z\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
Integramos em \theta e r: \int_{0}^{2\pi}\mathrm d\theta = 2\pi e \int_{0}^{a}r\,\mathrm dr = \tfrac{a^2}{2}.
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M = 3\cdot2\pi\cdot\tfrac{a^2}{2}\int_{0}^{h}z\,\mathrm dz =3\pi a^2\cdot\tfrac{h^2}{2} =\tfrac{3}{2}\,\pi a^2 h^2.

Passo 4

Pela simetria em x e y temos x_C=y_C=0. Para z_C:
z_C =\frac{1}{M}\iiint_V z\,\delta\,\mathrm dV =\frac{1}{M}\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}3z^2\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
Já sabemos \int_{0}^{2\pi}\mathrm d\theta=2\pi, \int_{0}^{a}r\,\mathrm dr=\tfrac{a^2}{2} e \int_{0}^{h}z^2\,\mathrm dz=\tfrac{h^3}{3}. Então
z_C =\frac{3\cdot2\pi\cdot\tfrac{a^2}{2}\cdot\tfrac{h^3}{3}}{M} =\frac{\pi a^2 h^3}{M} =\frac{\pi a^2 h^3}{\tfrac{3}{2}\pi a^2 h^2} =\frac{2h}{3}.

Resposta

Massa M = \tfrac{3}{2}\,\pi a^2 h^2.
Centro de gravidade \bigl(0,0,\tfrac{2h}{3}\bigr).

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