Dado cx+y+z+t=0 2 x+3 y+5 z+4 t=0, determinar: x+2 y+4 z+3 t=0
(vale 2,0 pont
a) o espaço-solução do sistema acima.
RESPOSTA:
b) uma base e a dimensão para o espaço-solução do sistema acima.
RESPOSTA:

Passo 1

O enunciado pede o espaço-solução do sistema homogêneo de três equações lineares em quatro incógnitas
x + y + z + t = 0, 2x + 3y + 5z + 4t = 0, x + 2y + 4z + 3t = 0,
e em seguida uma base e a dimensão desse espaço. O conteúdo é Álgebra Linear: resolução de sistemas homogêneos e determinação de base e dimensão de espaços de soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss (sem o termo independente, pois é homogêneo):
Usamos a primeira linha como pivô:
  • .
  • .
    Em seguida anula a terceira linha. Obtemos duas linhas independentes, então .

Passo 3

Das linhas não nulas temos os pivôs em
Escolhemos como variáveis livres, digamos e . Da segunda equação:
Da primeira:

Passo 4

Escrevemos a solução geral em função de u,v:
(x,y,z,t) = (2u+v,;-3u-2v,;u,;v) = u,(2,-3,1,0);+;v,(1,-2,0,1)

Passo 5

Dessa forma o espaço-solução é o subespaço gerado pelos vetores (2,-3,1,0) e (1,-2,0,1). Como temos dois vetores independentes, a dimensão é 2.

Resposta

a) O espaço-solução é
(x,y,z,t)mid (x,y,z,t)=u,(2,-3,1,0)+v,(1,-2,0,1),;u,vinR
b) Uma base natural é
(2,-3,1,0),;(1,-2,0,1),
e a dimensão desse espaço é 2.

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