Encontre o subespaço gerado pelos polinômios p1=x^2+x+1, p2=x^2+3 x-1 e p3=2 x^2+4.
(vale 2,0 pontos)
RESPOSTA:
b) Determine uma base e a dimensão para o subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar uma base e a dimensão do subespaço gerado pelos polinômios p1 = x^2 + x + 1 , p2 = x^2 + 3x - 1 e p3 = 2x^2 + 4 . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços, onde queremos entender como esses polinômios se combinam e qual a “tamanho” desse conjunto em termos de dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em forma de vetores. Como estamos lidando com polinômios de grau até 2, podemos representá-los como vetores com três componentes correspondentes aos coeficientes de x^2 , x e o termo constante. Assim, temos:
p1 = 1 1 1 , p2 = 1 3 -1 , p3 = 2 0 4

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, colocamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos seu determinante:
A = 1 & 1 & 2 1 & 3 & 0 1 & -1 & 4
Calculando o determinante de A :
det(A) = 1(3 cdot 4 - 0 cdot (-1)) - 1(1 cdot 4 - 0 cdot 1) + 2(1 cdot (-1) - 3 cdot 1) = 1(12) - 1(4) + 2(-4) = 12 - 4 - 8 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes, ou seja, um dos polinômios pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 4

Vamos encontrar quais polinômios são redundantes. Suponha que p3 = a p1 + b p2 . Então:
2 = a cdot 1 + b cdot 1 0 = a cdot 1 + b cdot 3 4 = a cdot 1 + b cdot (-1)
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: 0 = a + 3b a = -3b
Substituindo na primeira equação: 2 = -3b + b = -2b b = -1 , então a = 3
Verificando na terceira equação: 4 = 3 + (-1)(-1) = 3 + 1 = 4 . Confere!
Isso mostra que p3 = 3p1 - p2 , ou seja, p3 não adiciona nada novo ao subespaço.

Passo 5

Portanto, uma base para o subespaço pode ser composta apenas por p1 e p2 , já que p3 está na combinação desses dois. Assim, temos:
Base = p1, p2

Passo 6

A dimensão do subespaço é o número de vetores na base. Como nossa base tem dois polinômios, a dimensão é 2.

Resposta

Uma base para o subespaço é p1, p2 e a dimensão desse subespaço é 2.

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