9 - Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(a) Se a linha
é um múltiplo da linha
de
, então
não é inversível;
(a) Se a linha
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
e que, se uma linha de
for inteiramente nula, então
não é inversível. Precisamos mostrar que, quando existe um escalar
tal que
para duas linhas distintas e
de
, então
não é inversível. Vamos usar operações elementares de linha para reduzir
a uma forma que tenha uma linha nula.
para duas linhas distintas
Passo 2
Considere a operação elementar de tipo “substituir a linha
por
”. Escrevendo-a em notação de linha:
Como assumimos que
, após a operação teremos
Passo 3
Denote por
a matriz obtida de
após essa única operação elementar de linha. Pela construção,
tem uma linha inteira nula. Pelo enunciado, qualquer matriz com uma linha nula não é inversível. Logo,
Passo 4
Sabemos que cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar
pela esquerda por uma matriz elementar
, e essas matrizes elementares são todas inversíveis. Assim,
Se
fosse inversível, então
também seria inversível (produto de matrizes inversíveis é inversível). Mas acabamos de ver que
não é inversível. Portanto, por contraposição,
não pode ser inversível.