9 - Seja A uma matriz quadrada de ordem n times n. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(a) Se a linha Li é um múltiplo da linha Lj de A, então A não é inversível;

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n e que, se uma linha de A for inteiramente nula, então A não é inversível. Precisamos mostrar que, quando existe um escalar k tal que
Li = k,Lj
para duas linhas distintas Li e Lj de A, então A não é inversível. Vamos usar operações elementares de linha para reduzir A a uma forma que tenha uma linha nula.

Passo 2

Considere a operação elementar de tipo “substituir a linha Li por Li - k,Lj”. Escrevendo-a em notação de linha:
Li ;long<=ftarrow;Li - k,Lj
Como assumimos que Li = k,Lj, após a operação teremos
Li^nova = k,Lj - k,Lj = 0(linha nula)

Passo 3

Denote por A' a matriz obtida de A após essa única operação elementar de linha. Pela construção, A' tem uma linha inteira nula. Pelo enunciado, qualquer matriz com uma linha nula não é inversível. Logo,
A' não é inversível ãéí

Passo 4

Sabemos que cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz elementar E, e essas matrizes elementares são todas inversíveis. Assim,
A' = E,A com (E) inversível í
Se A fosse inversível, então A' = E,A também seria inversível (produto de matrizes inversíveis é inversível). Mas acabamos de ver que A' não é inversível. Portanto, por contraposição, A não pode ser inversível.

Resposta

A não é inversível.

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