Dado K in R e f:[0,+infty) R determine as Transformadas de Laplace quando:
f(t)=e^K t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace. O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função f(t) = e^K t , onde K é um número real. Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função f(t) , denotada por Lf(t) , é definida pela integral:
Lf(t)(s) = integral0^+infty e^-s t f(t) , dt
Aqui, s é uma variável complexa, mas no nosso caso, vamos trabalhar com s real.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função f(t) = e^K t . Substituindo na fórmula, temos:
Le^K t(s) = integral0^+infty e^-s t e^K t , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os exponentes:
e^-s t cdot e^K t = e^(K - s) t
Então, a integral fica:
Le^K t(s) = integral0^+infty e^(K - s) t , dt

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral0^+infty e^a t , dt = e^a ta |0^+infty
Isso converge se a < 0 . No nosso caso, a = K - s , então para convergir, precisamos que s > K .
Assumindo que s > K , temos:
integral0^+infty e^(K - s) t , dt = e^(K - s) tK - s |0^+infty = 0 - 1K - s = 1s - K

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) = e^K t é:
Le^K t(s) = 1s - K para s > K

Exercícios relacionados