Dado e determine as Transformadas de Laplace quando: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace. O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função , onde é um número real. Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função , denotada por , é definida pela integral:
Aqui, é uma variável complexa, mas no nosso caso, vamos trabalhar com real.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função . Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os exponentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
Isso converge se a < 0 . No nosso caso, a = K - s , então para convergir, precisamos que s > K .
Assumindo que s > K , temos:
integral0^+infty e^(K - s) t , dt = e^(K - s) tK - s |0^+infty = 0 - 1K - s = 1s - K
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) = e^K t é: