Dado
e
determine as Transformadas de Laplace quando:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace de uma função específica, que no caso é
. Então, vamos usar conhecimentos de Transformadas de Laplace e trigonometria para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A definição da Transformada de Laplace de uma função
é:
Essa integral nos ajuda a analisar o comportamento da função em diferentes frequências.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo expoentes e cossenos. A integração de
resulta em:
Essa é uma fórmula conhecida que simplifica nosso cálculo.
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é: