Dado K in R e f:[0,+infty) R determine as Transformadas de Laplace quando:
f(t)=cos (K t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace de uma função específica, que no caso é f(t) = cos(Kt) . Então, vamos usar conhecimentos de Transformadas de Laplace e trigonometria para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo t para o domínio da frequência s . A definição da Transformada de Laplace de uma função f(t) é:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt
Essa integral nos ajuda a analisar o comportamento da função em diferentes frequências.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(t) = cos(Kt) . Substituindo na fórmula, temos:
Lcos(Kt) = integral0^+infty e^-st cos(Kt) , dt

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo expoentes e cossenos. A integração de e^-st cos(Kt) resulta em:
integral e^-st cos(Kt) , dt = ss^2 + K^2
Essa é uma fórmula conhecida que simplifica nosso cálculo.

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de cos(Kt) é:
Lcos(Kt) = ss^2 + K^2

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