Dê exemplos de sequências de números reais
e
tais que
e
Passo 1
Então, temos um exercício de sequências na matemática. A gente precisa encontrar exemplos de duas sequências de números reais, chamadas
e
, que satisfaçam três condições:
-
tende a 0 quando cresce; -
tende ao infinito positivo quando cresce; - O produto
tende a 10 quando cresce.
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir sequências que se comportam dessa forma e como o comportamento de cada uma afeta o produto delas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma sequência para
que tende a 0. Uma maneira simples é definir
como
. Ou seja:
À medida que
aumenta,
fica cada vez menor, se aproximando de 0.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma sequência para
que tende ao infinito. Uma escolha fácil é
. Assim:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites, indo para mais infinito.
Passo 4
Vamos verificar o produto das duas sequências
:
Independente do valor de
, o produto sempre será 10.
Passo 5
Como vimos,
tende a 0,
tende a mais infinito, e o produto
sempre é 10. Isso satisfaz todas as condições do exercício.
Resposta
Um exemplo é definir
e
. Assim,
,
e
.