Dê exemplos de sequências de números reais an e bn tais que
an 0, bn +infty e an cdot bn 10

Passo 1

Então, temos um exercício de sequências na matemática. A gente precisa encontrar exemplos de duas sequências de números reais, chamadas an e bn , que satisfaçam três condições:
  1. an tende a 0 quando n cresce;
  2. bn tende ao infinito positivo quando n cresce;
  3. O produto an cdot bn tende a 10 quando n cresce.
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir sequências que se comportam dessa forma e como o comportamento de cada uma afeta o produto delas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma sequência para an que tende a 0. Uma maneira simples é definir an como 10n . Ou seja:
an = 10n
À medida que n aumenta, 10n fica cada vez menor, se aproximando de 0.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma sequência para bn que tende ao infinito. Uma escolha fácil é bn = n . Assim:
bn = n
À medida que n cresce, bn também cresce sem limites, indo para mais infinito.

Passo 4

Vamos verificar o produto das duas sequências an cdot bn :
an cdot bn = 10n cdot n = 10
Independente do valor de n , o produto sempre será 10.

Passo 5

Como vimos, an tende a 0, bn tende a mais infinito, e o produto an cdot bn sempre é 10. Isso satisfaz todas as condições do exercício.

Resposta

Um exemplo é definir an = 10n e bn = n . Assim, an 0 , bn +infty e an cdot bn 10 .

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