Exercícios de Fixação
Calcule os limites numericamente e especifique se os limites são à direita, à esquerda ou bilaterais.
lim x 0 cos 1x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=cosl(tfrac1xr)
e calcular
limxto0^-f(x),
limxto0^+f(x) e
limxto0f(x).
O conteúdo envolvido é comportamento de funções oscilatórias quando o argumento tende a infinito.

Passo 2

Quando xto0^+, o valor de tfrac1x cresce sem limite, isto é, tfrac1xto+infty. Como cos(t) é uma função periódica de período 2pi, ao fazermos t=tfrac1xto+infty o valor de cos(t) fica oscilando entre -1 e 1 sem se aproximar de um único número.

Passo 3

De modo análogo, quando xto0^-, temos tfrac1xto-infty. Mas cos(t) é uma função par, ou seja, cos(-t)=cos(t), logo ela também oscila entre -1 e 1 sem convergir.

Passo 4

Para mostrar com sequências, basta escolher
xn = 12pi nLongrightarrowcosl(tfrac1xnr)=cos(2pi n)=1,
yn = 1(2n+1)piLongrightarrowcosl(tfrac1ynr)=cosl((2n+1)pir)=-1
Ambas as sequências tendem a 0, mas uma faz fto1 e outra faz fto-1. Isso impede a existência de limite.

Resposta

limxto0^-cosl(tfrac1xr) não existe.
limxto0^+cosl(tfrac1xr) não existe.
limxto0cosl(tfrac1xr) não existe.

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