Dado K in R e f:[0,+infty) R determine as Transformadas de Laplace quando:
f(t)=sinh (K t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função sinh(Kt), onde KinR e t>=0. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e as propriedades de exponenciais para calcular
Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt

Passo 2

Lembrando que
sinh(Kt)=e^Kt-e^-Kt2,
substituímos na definição:
Lsinh(Kt)(s) =integral0^inftye^-st,e^Kt-e^-Kt2,dt

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
Lsinh(Kt)(s) =12integral0^inftye^-(s-K)t,dt -12integral0^inftye^-(s+K)t,dt

Passo 4

Cada integral é da forma integral0^inftye^-at,dt=1/a para Re(a)>0. Então, desde que Re(s)>|K|, temos
integral0^inftye^-(s-K)t,dt=1s-K, integral0^inftye^-(s+K)t,dt=1s+K
Logo,
Lsinh(Kt)(s) =12l(1s-K-1s+Kr)

Passo 5

Fazendo a diferença e colocando sobre denominador comum:
12l(s+K-(s-K)(s-K)(s+K)r) =12l(2Ks^2-K^2r) =Ks^2-K^2

Resposta

Lsinh(Kt)(s) =Ks^2-K^2, Re(s)>|K|

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