No plano cartesiano, a hipérbole x y=1 intersecta uma circunferência Gamma em quatro pontos distintos A, B, C e D. Calcule o produto das abscissas dos pontos A, B, C e D.
Resposta: square

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo uma hipérbole e uma circunferência no plano cartesiano. Precisamos encontrar o produto das abscissas (os valores de x ) dos quatro pontos onde a hipérbole xy = 1 intercepta a circunferência Gamma . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e equações de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  • A hipérbole é dada por xy = 1 .
  • A circunferência Gamma tem uma equação geral que podemos chamar de x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 , mas como não temos mais informações, vamos trabalhar com o que sabemos.
Nosso objetivo é encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações formado por xy = 1 e a equação da circunferência.

Passo 3

Para facilitar, vamos expressar y em termos de x a partir da equação da hipérbole:
y = 1x
Agora, substituímos essa expressão na equação da circunferência:
x^2 + (1x)^2 + a x + b (1x) + c = 0
Simplificando:
x^2 + 1x^2 + a x + bx + c = 0
Multiplicando todos os termos por x^2 para eliminar as frações:
x^4 + 1 + a x^3 + b x + c x^2 = 0
Reorganizando:
x^4 + a x^3 + c x^2 + b x + 1 = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação polinomial de quarto grau em x :
x^4 + a x^3 + c x^2 + b x + 1 = 0
As soluções dessa equação correspondem às abscissas dos pontos de interseção. Queremos encontrar o produto dessas soluções. Vemos que o termo independente é 1 e que o grau do polinômio é 4. Por uma propriedade dos polinômios, o produto das raízes de um polinômio de grau n é igual ao termo independente dividido pelo coeficiente líder, multiplicado por (-1)^n .

Passo 5

Aplicando essa propriedade:
  • Grau do polinômio ( n ) = 4
  • Termo independente = 1
  • Coeficiente líder = 1
Portanto, o produto das raízes é:
Produto = (-1)^4 times 11 = 1 times 1 = 1

Resposta

O produto das abscissas dos pontos A, B, C e D é 1 .

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