No plano cartesiano, a hipérbole
intersecta uma circunferência
em quatro pontos distintos
e
. Calcule o produto das abscissas dos pontos
e
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo uma hipérbole e uma circunferência no plano cartesiano. Precisamos encontrar o produto das abscissas (os valores de
) dos quatro pontos onde a hipérbole
intercepta a circunferência
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e equações de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
- A hipérbole é dada por
. - A circunferência
tem uma equação geral que podemos chamar de , mas como não temos mais informações, vamos trabalhar com o que sabemos.
Nosso objetivo é encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações formado por
e a equação da circunferência.
Passo 3
Para facilitar, vamos expressar
em termos de
a partir da equação da hipérbole:
Agora, substituímos essa expressão na equação da circunferência:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar as frações:
Reorganizando:
Passo 4
Agora, temos uma equação polinomial de quarto grau em
:
As soluções dessa equação correspondem às abscissas dos pontos de interseção. Queremos encontrar o produto dessas soluções. Vemos que o termo independente é 1 e que o grau do polinômio é 4. Por uma propriedade dos polinômios, o produto das raízes de um polinômio de grau
é igual ao termo independente dividido pelo coeficiente líder, multiplicado por
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade:
- Grau do polinômio (
) = 4 - Termo independente = 1
- Coeficiente líder = 1
Portanto, o produto das raízes é:
Resposta
O produto das abscissas dos pontos
e
é
.