Encontre a série de Taylor para a função f(x)=\frac{1}{x} centrada em x_{0}=2. Determine também seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x} centrada em x_{0}=2 e seu raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de x=2 e a série geométrica.

Passo 2

Defina h = x - 2. Então x = 2 + h e
f(x) = \frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{1 + \frac{h}{2}}.

Passo 3

Lembrando que, para \lvert r\rvert < 1,
\frac{1}{1 + r} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\,r^n,
tomamos r = \frac{h}{2}. Assim,
f(x) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr)^n.

Passo 4

Substituindo h = x - 2 de volta, obtemos
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x - 2)^n}{2^{n+1}}.

Passo 5

A série geométrica converge se \lvert r\rvert<1, ou seja
\Bigl\lvert\frac{x-2}{2}\Bigr\rvert < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x-2| < 2.
Logo o raio de convergência é R=2.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-2)^n}{2^{n+1}}, \quad R=2.

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