Dado que A é 3 times 3 e det A=2, encontre:
det(A^-1+4 adj A)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o determinante de uma expressão que envolve a matriz inversa de A e a adjunta de A . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente propriedades de determinantes, matrizes inversas e adjuntas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas fórmulas importantes relacionadas a essas operações.

Passo 2

Primeiro, sabemos que A é uma matriz 3 times 3 e que det A = 2 . Vamos lembrar que a matriz inversa de A , denotada por A^-1 , está relacionada com a adjunta de A ( adj A ) pela fórmula:
A^-1 = 1det A adj A
Como det A = 2 , podemos escrever:
A^-1 = 12 adj A

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na que nos foi dada:
det(A^-1 + 4 adj A) = det(12 adj A + 4 adj A)
Para simplificar, somamos os termos semelhantes:
12 adj A + 4 adj A = (12 + 4) adj A = 92 adj A
Então, a expressão fica:
det(92 adj A)

Passo 4

Sabemos que para qualquer matriz B de ordem n , o determinante de um escalar multiplicado por B é dado por:
det(kB) = k^n det(B)
Aqui, k = 92 e n = 3 , então:
det(92 adj A) = (92)^3 det(adj A)

Passo 5

Agora, precisamos lembrar que para uma matriz A de ordem n , o determinante da adjunta de A é:
det(adj A) = (det A)^n-1
No nosso caso, n = 3 e det A = 2 , então:
det(adj A) = (2)^2 = 4

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
(92)^3 times 4 = 7298 times 4 = 7292

Resposta

det(A^-1 + 4 adj A) = 7292

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