Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
f(x)=raizx^4-5 x^2+4

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raizx^4-5x^2+4
O conteúdo necessário é resolver a inequação do radicando para que ele seja não negativo, ou seja,
x^4-5x^2+4 ,>=,0

Passo 2

Escrevemos explicitamente a condição de domínio como a inequação
x^4-5x^2+4 ,>=,0

Passo 3

Fatoramos o polinômio em termos de x^2:
x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4)

Passo 4

As raízes de (x^2-1)(x^2-4)=0 são
x^2=1implies x=pm1, x^2=4implies x=pm2
Isso particiona a reta em cinco intervalos:
(-infty,-2], (-2,-1], [-1,1], [1,2) e [2,infty).

Passo 5

Escolhemos um ponto teste em cada intervalo para determinar o sinal de (x^2-1)(x^2-4):
  • Em x=0in[-1,1]: (0^2-1)(0^2-4)=(-1)cdot(-4)=4>0.
  • Em x=1.5in(1,2): (1,5^2-1)(1,5^2-4)=(2,25-1)(2,25-4)=1,25cdot(-1,75)<0.
  • Em x=3in[2,infty): (3^2-1)(3^2-4)=(9-1)(9-4)=8cdot5>0.
    Pelos testes, a expressão é não negativa em
(-infty,-2],,[-1,1],,[2,infty)

Passo 6

Como a inequação é >=0, incluímos os pontos onde o radicando zera, ou seja, x=pm1 e x=pm2. Assim o domínio é a união dos intervalos onde o produto é não negativo.

Resposta

Dom,f = (-infty,-2];cup;[-1,1];cup;[2,infty)

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