Determine o jacobiano da transformaçăo.
x=e^t+t, y=e^t-t

Passo 1

Temos a transformação
x = e^s+t, y = e^t - s,
do plano (s,t) para o plano (x,y).
O objetivo é calcular o jacobiano
J = partial(x,y)partial(s,t)

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de x em relação a s e t:
partial xpartial s = partialpartial sl(e^s+tr) = e^s+t, partial xpartial t = partialpartial tl(e^s+tr) = e^s+t

Passo 3

Agora as derivadas parciais de y:
partial ypartial s = partialpartial sl(e^t-sr) = -,e^t-s, partial ypartial t = partialpartial tl(e^t-sr) = e^t-s

Passo 4

Usamos a fórmula do determinante para o jacobiano:
partial(x,y)partial(s,t) = partial xpartial s,partial ypartial t - partial xpartial t,partial ypartial s
Substituindo:
J = e^s+tcdot e^t-s - e^s+tcdotl(-e^t-sr) = e^(s+t)+(t-s) + e^(s+t)+(t-s) = e^2t + e^2t = 2,e^2t

Resposta

J = 2,e^2t

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