Dado u(x, y)=e^x y^2, encontre a equação diferencial exata d u=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função u(x, y) = e^x y^2 e pediu para encontrar a equação diferencial exata du = 0 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como calcular o diferencial total de uma função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diferencial total du de uma função u(x, y) é dado por:
du = partial upartial x dx + partial upartial y dy
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de u em relação a x e a y .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de u em relação a x :
partial upartial x = partialpartial x ( e^x y^2 )
Usando a regra da cadeia, temos:
partial upartial x = y^2 e^x y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a y :
partial upartial y = partialpartial y ( e^x y^2 )
Aplicando também a regra da cadeia:
partial upartial y = 2x y e^x y^2

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar o diferencial total du :
du = y^2 e^x y^2 dx + 2x y e^x y^2 dy
E a equação diferencial exata que queremos é:
du = 0

Resposta

A equação diferencial exata é:
y^2 e^x y^2,dx + 2x y e^x y^2,dy = 0

Exercícios relacionados