Exercício 2: Calcule as integrais abaixo:
integral1^5 xraiz5-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^5 xraiz5-x,dx
O conteúdo utilizado será a técnica de substituição (troca de variável) e a regra de potências para integrais, que diz que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5 - x,
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du = -dx, dx = -du
Quando x=1, u=4; quando x=5, u=0. Além disso x = 5 - u. Assim a integral vira
integral1^5 xraiz5-x,dx = integralu=4^u=0 5 - uraizu;(-du) = integral0^4 5 - uraizu,du

Passo 3

Separemos a integral em duas partes usando raizu=u^1/2:
integral0^4 5 - uraizu,du = 5integral0^4 u^-tfrac12,du - integral0^4 u^tfrac12,du

Passo 4

Aplicando a regra de potências:
integral u^-tfrac12,du = 2u^tfrac12, integral u^tfrac12,du = 23u^tfrac32
Logo,
5integral0^4 u^-tfrac12,du = 5l[2raizur]0^4 = 10l(raiz4-0r) = 10cdot 2 = 20,
integral0^4 u^tfrac12,du = 23l[u^tfrac32r]0^4 = 23l(8-0r) = 163
Subtraindo, obtemos
20 - 163 = 603 - 163 = 443

Resposta

443

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