Encontre a solução geral para a equação diferencial dada utilizando o método de variação de parâmetros. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
cos x y^prime+y sen x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: cos x , y^prime + y , sin x = 1. A gente vai usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais não homogêneas quando já sabemos a solução da parte homogênea. Vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e como aplicar essa variação. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares: y^prime + P(x) , y = Q(x). Para isso, dividimos todos os termos por cos x:
y^prime + tan x , y = sec x
Aqui, P(x) = tan x e Q(x) = sec x.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando Q(x) = 0:
y^prime + tan x , y = 0
Essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, usamos o fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(x) usando:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral tan x , dx = e^-ln|cos x| = sec x

Passo 5

Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:
sec x , y^prime + sec x , tan x , y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( sec x , y ) = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados:
sec x , y = C
Onde C é a constante de integração. Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C cos x

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros. Assumimos que C não é constante, mas sim uma função de x: C(x).
Então, a solução particular será:
yp = C(x) cos x

Passo 8

Derivando yp:
yp^prime = C^prime(x) cos x - C(x) sin x

Passo 9

Substituindo yp e yp^prime na equação original:
(C^prime(x) cos x - C(x) sin x) cos x + C(x) cos x sin x = sec x
Simplificando:
C^prime(x) cos^2 x = sec x

Passo 10

Resolvendo para C^prime(x):
C^prime(x) = sec xcos^2 x = 1cos^3 x = sec^3 x

Passo 11

Integrando para encontrar C(x):
C(x) = integral sec^3 x , dx
Sabemos que:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| | + C
Ignoramos a constante de integração aqui, pois já a consideramos na solução geral.

Passo 12

Então, a solução particular é:
yp = ( 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| ) cos x
Simplificando:
yp = 12 sin x + 12 cos x ln |sec x + tan x|

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C cos x + 12 sin x + 12 cos x ln |sec x + tan x|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C cos x + 12 sin x + 12 cos x ln |sec x + tan x|
Essa solução é válida no intervalo onde cos x neq 0, ou seja, para x in (-pi2 + kpi, pi2 + kpi), onde k é qualquer inteiro.

Exercícios relacionados