Encontre a solução geral para a equação diferencial dada utilizando o método de variação de parâmetros. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais não homogêneas quando já sabemos a solução da parte homogênea. Vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e como aplicar essa variação. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando
:
Essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, usamos o fator integrante.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
usando:
Passo 5
Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros. Assumimos que
não é constante, mas sim uma função de
:
.
Então, a solução particular será:
Passo 8
Derivando
:
Passo 9
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Integrando para encontrar
:
Sabemos que:
Ignoramos a constante de integração aqui, pois já a consideramos na solução geral.
Passo 12
Então, a solução particular é:
Simplificando:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde
, ou seja, para
, onde
é qualquer inteiro.