Determine um fator integrante e resolva as equações diferencais dadas.
(2 y^2+3 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

Então, temos a equação diferencial (2 y^2+3 x) dx + 2 x y dy = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante, que nos ajudará a tornar essa equação exata, ou seja, mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy. Chamamos de M e N essas funções:
M = 2 y^2 + 3 x e N = 2 x y
Uma equação diferencial na forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata calculando essas derivadas:
partial Mpartial y = 4 y e partial Npartial x = 2 y
Como 4 y neq 2 y, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, tornará a equação exata.

Passo 4

Para encontrar o fator integrante, vamos assumir que ele depende apenas de x ou apenas de y. Aqui, vamos tentar com um fator que depende apenas de x, ou seja, mu(x).
A fórmula para encontrar mu(x) é:
mu(x) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx
Substituindo os valores que já calculamos:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 4 y - 2 y2 x y = 2 y2 x y = 1x
Então:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln x = x
Portanto, o fator integrante é mu(x) = x.

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x:
x(2 y^2 + 3 x) dx + x(2 x y) dy = 0
Simplificando:
(2 x y^2 + 3 x^2) dx + 2 x^2 y dy = 0
Vamos chamar esses novos termos de e :
M̃ = 2 x y^2 + 3 x^2 e Ñ = 2 x^2 y

Passo 6

Agora, vamos verificar novamente se a equação é exata:
partial M̃partial y = 4 x y e partial Ñpartial x = 4 x y
Como 4 x y = 4 x y, a equação agora é exata!

Passo 7

Para resolver uma equação exata, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M̃ e partial Fpartial y = Ñ
Vamos integrar em relação a x:
F(x, y) = integral (2 x y^2 + 3 x^2) dx = y^2 x^2 + x^3 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y.

Passo 8

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a :
partial Fpartial y = 2 x^2 y + h'(y) = 2 x^2 y
Isso implica que h'(y) = 0, então h(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 x^2 + x^3 = C

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