Determine um fator integrante e resolva as equações diferencais dadas.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante, que nos ajudará a tornar essa equação exata, ou seja, mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos de
e
essas funções:
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata calculando essas derivadas:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, tornará a equação exata.
Passo 4
Para encontrar o fator integrante, vamos assumir que ele depende apenas de
ou apenas de
. Aqui, vamos tentar com um fator que depende apenas de
, ou seja,
.
A fórmula para encontrar
é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Então:
Portanto, o fator integrante é
.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Vamos chamar esses novos termos de
e
:
Passo 6
Agora, vamos verificar novamente se a equação é exata:
Como
, a equação agora é exata!
Passo 7
Para resolver uma equação exata, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: