Dado que
lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2 e lim x 2 h(x)=0,
encontre, se existir, o limite dos itens que se seguem. Caso não exista, explique por quê.
(e) lim x 2 g(x)h(x).

Passo 1

O enunciado dá
limxto2f(x)=4, limxto2g(x)=-2 e limxto2h(x)=0
e pede
limxto2g(x)h(x).
Vamos usar o teorema do limite do quociente, que exige que o limite do denominador seja diferente de zero para podermos escrever
limxto au(x)v(x) =limxto au(x)limxto av(x)selimxto av(x)neq0

Passo 2

Aqui limxto2h(x)=0, ou seja, o denominador tende a zero. Como o teorema do quociente não se aplica quando o limite do denominador é zero, não podemos simplesmente escrever
limxto2g(x)h(x) =limxto2g(x)limxto2h(x)

Passo 3

Quando o numerador tende a um valor não nulo (aqui -2) e o denominador tende a 0, o quociente fica “cada vez maior em módulo”. Em geral isso leva a um crescimento não limitado (infinito) ou a um comportamento indefinido se não soubermos de que lado h(x) se aproxima de zero, pois o sinal do quociente dependeria do sinal de h(x) perto de 2.

Resposta

O limite limxto2g(x)h(x) não existe, pois o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a -2neq0, fazendo o quociente divergir para infinito ou não se estabilizar em nenhum valor finito.

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