Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= senh(x).

Passo 1

O enunciado trata do volume de um sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região
.
Pela regra dos discos, o volume é
onde aqui , e .

Passo 2

Substituindo e os limites, temos

Passo 3

Para integrar usamos a identidade de duplicação

Passo 4

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V =piintegral0^1cosh(2x)-12,dx =pi2l[!integral0^1cosh(2x),dx-integral0^11,dxr]
Calculamos separadamente
integral0^1cosh(2x),dx =12sinh(2x)|0^1 =sinh(2)2, integral0^11,dx=1

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
V =pi2l(sinh(2)2-1r) =pi,sinh(2)4-pi2

Resposta

V=pi,sinh(2)4-pi2

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