A medida da circunferência de um circulo foi de 56.0 pm 1.2 mm. Estime o erro na medida da área do círculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o erro na medida da área de um círculo, sabendo que a circunferência foi medida como 56.0 pm 1.2 mm. Aqui, estamos lidando com Geometria e mais especificamente com propagação de erros em medidas geométricas. Para resolver, vamos precisar saber como relacionar a circunferência com o raio e, depois, como calcular a área a partir do raio, além de entender como propagar o erro dessa medida para a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da circunferência de um círculo:
C = 2pi r
Onde:
  • C é a circunferência,
  • r é o raio,
  • pi é aproximadamente 3,1416.
Queremos encontrar o raio r , então vamos rearranjar a fórmula:
r = C2pi
Substituindo C = 56.0 mm :
r = 56.02 times pi approx 56.06,2832 approx 8,918 mm

Passo 3

Agora que temos o raio, vamos calcular a área A do círculo usando a fórmula:
A = pi r^2
Substituindo r approx 8,918 mm :
A = pi times (8,918)^2 approx 3,1416 times 79,49 approx 249,6 mm^2

Passo 4

Mas a gente quer saber qual é o erro na medida da área, dado que a circunferência tem uma incerteza de pm 1,2 mm . Para isso, usamos a propagação de erros. Quando temos uma função que depende de outra variável com erro, o erro na função pode ser aproximado por:
De<a A approx | dAdC | De<a C
Primeiro, vamos expressar A em função de C . Sabemos que:
A = pi ( C2pi )^2 = C^24pi
Agora, derivamos A em relação a C :
dAdC = 2C4pi = C2pi
Então, o erro na área De<a A é:
De<a A = | C2pi | De<a C
Substituindo C = 56.0 mm e De<a C = 1,2 mm :
De<a A = 56.02 times 3,1416 times 1,2 approx 56.06,2832 times 1,2 approx 8,918 times 1,2 approx 10,7 mm^2

Resposta

O erro na medida da área do círculo é aproximadamente pm 10,7 mm^2 .

Exercícios relacionados