A medida da circunferência de um circulo foi de . Estime o erro na medida da área do círculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o erro na medida da área de um círculo, sabendo que a circunferência foi medida como . Aqui, estamos lidando com Geometria e mais especificamente com propagação de erros em medidas geométricas. Para resolver, vamos precisar saber como relacionar a circunferência com o raio e, depois, como calcular a área a partir do raio, além de entender como propagar o erro dessa medida para a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da circunferência de um círculo:
Onde:
é a circunferência,
é o raio,
é aproximadamente 3,1416.
Queremos encontrar o raio , então vamos rearranjar a fórmula:
Substituindo :
Passo 3
Agora que temos o raio, vamos calcular a área do círculo usando a fórmula:
Substituindo :
Passo 4
Mas a gente quer saber qual é o erro na medida da área, dado que a circunferência tem uma incerteza de . Para isso, usamos a propagação de erros. Quando temos uma função que depende de outra variável com erro, o erro na função pode ser aproximado por:
Primeiro, vamos expressar A em função de C . Sabemos que:
A = pi ( C2pi )^2 = C^24pi
Agora, derivamos A em relação a C :
dAdC = 2C4pi = C2pi
Então, o erro na área De<a A é:
De<a A = | C2pi | De<a C
Substituindo C = 56.0 mm e De<a C = 1,2 mm :
De<a A = 56.02 times 3,1416 times 1,2 approx 56.06,2832 times 1,2 approx 8,918 times 1,2 approx 10,7 mm^2
Resposta
O erro na medida da área do círculo é aproximadamente pm 10,7 mm^2 .