Variáveis Aleatórias Discretas Independentes
Mostre que se X e Y são variáveis aleatórias tomando valores inteiros independentes,então
P(X+Y=n)=sumk P(X=k) P(Y=n-k)

Passo 1

Aqui estamos lidando com duas variáveis aleatórias discretas independentes X e Y que assumem valores inteiros. Queremos calcular a probabilidade de sua soma ser igual a n, ou seja P(X+Y = n).

Passo 2

A ideia principal é usar a definição de probabilidade para eventos disjuntos e a independência. Observamos que o evento X+Y = n pode ser decomposto como a união de eventos disjuntos X=k, Y = n-k para todas as possíveis k inteiras. Como esses eventos são mutuamente exclusivos, usamos que a probabilidade de uma união de eventos disjuntos é a soma de suas probabilidades:
P(X+Y = n) = sumk P(X=k, Y = n-k)
Agora aplicamos a independência de X e Y: para cada k,
P(X=k, Y = n-k) = P(X=k) cdot P(Y = n-k)
Substituindo esse produto na soma, chegamos à forma convolucional desejada:
P(X+Y = n) = sumk P(X=k) cdot P(Y = n-k)

Resposta

P(X+Y = n) = sumk P(X=k) P(Y = n-k)

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