Variáveis Aleatórias Discretas Independentes
Mostre que se
e
são variáveis aleatórias tomando valores inteiros independentes,então
Mostre que se
Passo 1
Aqui estamos lidando com duas variáveis aleatórias discretas independentes
e
que assumem valores inteiros. Queremos calcular a probabilidade de sua soma ser igual a
, ou seja
.
Passo 2
A ideia principal é usar a definição de probabilidade para eventos disjuntos e a independência. Observamos que o evento
pode ser decomposto como a união de eventos disjuntos
para todas as possíveis
inteiras. Como esses eventos são mutuamente exclusivos, usamos que a probabilidade de uma união de eventos disjuntos é a soma de suas probabilidades:
Agora aplicamos a independência de
Substituindo esse produto na soma, chegamos à forma convolucional desejada: