Para um dado escoamento cujo campo de velocidade é dado por:
\mathbf{u}=\left(x_{2}, 2 x_{3}\right)
Calcule a circulação ao redor de um meio contínuo arbitrário. Este escoamento atende ao teorema da circulação de Kelvin?
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Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade \mathbf{u}=(u_1,u_2)=(x_2,2x_3)
em um meio contínuo bidimensional (coordenadas x_2,x_3), e pede a circulação
\Gamma=\oint_{C}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{x}
ao redor de uma curva material arbitrária C. Para calcular essa circulação, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\Gamma=\oint_{C}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{x} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{u})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície cuja borda seja C e \mathbf{n} sua normal.

Passo 2

Precisamos então obter o rotacional de \mathbf{u}. Em duas dimensões (com componentes u_1=x_2 e u_2=2x_3), o único componente não nulo de \nabla\times\mathbf{u} é o “z”:
(\nabla\times\mathbf{u})_z =\frac{\partial u_2}{\partial x_2}-\frac{\partial u_1}{\partial x_3} =\frac{\partial(2x_3)}{\partial x_2}-\frac{\partial(x_2)}{\partial x_3} =0-0 =0.

Passo 3

Como \nabla\times\mathbf{u}=0 em toda parte, o integrando do Teorema de Stokes é nulo. Logo,
\Gamma =\iint_{S}0\cdot\mathbf{n}\,dS =0.
Isso vale para qualquer superfície S e, portanto, para qualquer curva material C.

Passo 4

O Teorema da Circulação de Kelvin afirma que, num fluido ideal e barotrópico sujeito a forças de volume conservativas, a circulação em torno de uma curva material se conserva no tempo. Aqui já vimos que \Gamma=0 inicialmente e, sendo o fluxo irrotacional ( \nabla\times\mathbf{u}=0 sempre), essa circulação nula permanece constante. Portanto, o escoamento atende ao Teorema de Kelvin.

Resposta

A circulação em torno de qualquer curva material é \Gamma=0,
e o escoamento satisfaz o Teorema da Circulação de Kelvin.

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