Para um dado escoamento cujo campo de velocidade é dado por:
Calcule a circulação ao redor de um meio contínuo arbitrário. Este escoamento atende ao teorema da circulação de Kelvin?
Calcule a circulação ao redor de um meio contínuo arbitrário. Este escoamento atende ao teorema da circulação de Kelvin?
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidade
em um meio contínuo bidimensional (coordenadas ), e pede a circulação
em um meio contínuo bidimensional (coordenadas
ao redor de uma curva material arbitrária
. Para calcular essa circulação, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é qualquer superfície cuja borda seja
e
sua normal.
Passo 2
Precisamos então obter o rotacional de
. Em duas dimensões (com componentes
e
), o único componente não nulo de
é o “z”:
Passo 3
Como
em toda parte, o integrando do Teorema de Stokes é nulo. Logo,
Isso vale para qualquer superfície
e, portanto, para qualquer curva material
.
Passo 4
O Teorema da Circulação de Kelvin afirma que, num fluido ideal e barotrópico sujeito a forças de volume conservativas, a circulação em torno de uma curva material se conserva no tempo. Aqui já vimos que
inicialmente e, sendo o fluxo irrotacional (
sempre), essa circulação nula permanece constante. Portanto, o escoamento atende ao Teorema de Kelvin.
Resposta
A circulação em torno de qualquer curva material é
e o escoamento satisfaz o Teorema da Circulação de Kelvin.
e o escoamento satisfaz o Teorema da Circulação de Kelvin.