Para um valor determinado de circulação, calcule a vorticidade azimutal do campo de velocidades a seguir:
u(r)=\frac{\Gamma}{2 \pi r}\left[1-\exp \left(\frac{-r^{2}}{4 \lambda^{2}}\right)\right]
Usando a fórmula a seguir:
\Omega(r)=\frac{u(r)}{r}+\frac{\partial u(r)}{\partial r}

Passo 1

O enunciado nos dá a componente azimutal da velocidade em função do raio:
u(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r}\Bigl[1-\exp\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr)\Bigr]
e pede a vorticidade azimutal \Omega(r) usando a fórmula
\Omega(r)=\frac{u(r)}{r}+\frac{\partial u(r)}{\partial r}.
O conteúdo é cálculo de derivada em função radial e soma de termos para obter a distribuição de vorticidade.

Passo 2

Para derivar u(r), definimos
A = \frac{\Gamma}{2\pi}, \qquad E(r)=\exp\!\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr),
de modo que
u(r)=A\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{E(r)}{r}\Bigr) = \frac{A}{r} - \frac{A\,E(r)}{r}.
Agora
\frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{A}{r^{2}} - A\frac{\D}{\D r}\Bigl(\frac{E(r)}{r}\Bigr).
Usando \frac{\D}{\D r}\bigl(E/r\bigr)=E'\!/r - E/r^{2} e E'=E\cdot(-r/(2\lambda^{2})), obtemos
\frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{A}{r^{2}} - A\Bigl(-\frac{E}{2\lambda^{2}} - \frac{E}{r^{2}}\Bigr) = A\,\frac{E-1}{r^{2}} + A\,\frac{E}{2\lambda^{2}}.

Passo 3

Calculamos
\frac{u(r)}{r} = \frac{A}{r^{2}}\bigl(1 - E\bigr),
então
\Omega(r) = \frac{u(r)}{r} + \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{A(1-E)}{r^{2}} + \Bigl[A\,\frac{E-1}{r^{2}} + A\,\frac{E}{2\lambda^{2}}\Bigr].
Os dois termos em 1/r^{2} se cancelam, sobrando apenas

Passo 4

\Omega(r) = A\,\frac{E(r)}{2\lambda^{2}} = \frac{\Gamma}{2\pi}\,\frac{1}{2\lambda^{2}}\, \exp\!\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr).

Resposta

\boxed{\displaystyle \Omega(r) = \frac{\Gamma}{4\pi\,\lambda^{2}}\, \exp\!\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr). }

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