Dado uma esfera dieletrica de permissividade , raio a e carga Q uniformemente distribuída em seu volume, encontre o campo elétrico dentro e fora da esfera, o potencial V na superfície, o trabalho W necessário para reunir o conjunto de cargas e a densidade de cargas polarizadas na superfície da esfera
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma esfera de raio , feita de material dielétrico com permissividade . Dentro dela tá “espalhado” no volume todo uma carga livre , uniformemente. Precisamos descobrir:
O campo elétrico em qualquer ponto (dentro e fora da esfera).
O potencial na superfície ().
O trabalho pra “juntar” essa carga toda dentro da esfera.
A densidade de carga polarizada (as cargas ligadas) na superfície, .
Conteúdo: Lei de Gauss em meios dielétricos (), definição de dentro do dielétrico e fora, cálculo de energia eletrostática e polarização ().
Pra resolver a gente vai usar Gauss passo a passo, integrar pra achar o potencial, e finalmente calcular energia e carga ligada. Bora lá!
Passo 2
Determinar dentro da esfera ().
Teoria: em dielétrico, a lei de Gauss usa e .
Como a carga livre é uniforme, densidade .
Pra uma casquinha cilíndrica de raio : .
Logo .
Como dentro, , radial saindo do centro.
Passo 3
Determinar fora da esfera ().
Fora da esfera não há material dielétrico (é vácuo), então .
A carga livre total é . Pela lei de Gauss: .
E aí , radial.
Passo 4
Potencial na superfície ().
Definição: .
Pra , usamos .
Então
Passo 5
Trabalho Wrm dentro =12integral0^a varepsilon,E^2,4pi r^2 dr =12integral0^a E,D,4pi r^2 dr =Q^240pi,varepsilon,a, pra reunir carga Wrm fora =12integrala^infty varepsilon0 E^2,4pi r^2 dr =Q^28pi,varepsilon0,a, uniformemente na esfera de dielétrico.
Método mais direto: energia eletrostática W =Wrm dentro+Wrm fora =Q^28pi,varepsilon0,a +Q^240pi,varepsilon,a, sobre todo o espaço.
Dentro (): .
Volume elementar .
Fora (): ,
Soma total
Passo 6
Densidade de carga polarizada na superfície, D(a)=Q4pi a^2, E(a)=Q4pivarepsilon,a^2 .