Dado uma esfera dieletrica de permissividade varepsilon, raio a e carga Q uniformemente distribuída em seu volume, encontre o campo elétrico E dentro e fora da esfera, o potencial V na superfície, o trabalho W necessário para reunir o conjunto de cargas e a densidade de cargas sigma polarizadas na superfície da esfera
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Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma esfera de raio , feita de material dielétrico com permissividade . Dentro dela tá “espalhado” no volume todo uma carga livre , uniformemente. Precisamos descobrir:
  1. O campo elétrico em qualquer ponto (dentro e fora da esfera).
  2. O potencial na superfície ( ).
  3. O trabalho pra “juntar” essa carga toda dentro da esfera.
  4. A densidade de carga polarizada (as cargas ligadas) na superfície, .
Conteúdo: Lei de Gauss em meios dielétricos ( ), definição de dentro do dielétrico e fora, cálculo de energia eletrostática e polarização ( ).
Pra resolver a gente vai usar Gauss passo a passo, integrar pra achar o potencial, e finalmente calcular energia e carga ligada. Bora lá!

Passo 2

Determinar dentro da esfera ( ).
  1. Teoria: em dielétrico, a lei de Gauss usa e
    .
  2. Como a carga livre é uniforme, densidade .
  3. Pra uma casquinha cilíndrica de raio :
    .
    Logo
    .
  4. Como dentro,
    , radial saindo do centro.

Passo 3

Determinar fora da esfera ( ).
  1. Fora da esfera não há material dielétrico (é vácuo), então .
  2. A carga livre total é . Pela lei de Gauss:
    .
  3. E aí
    , radial.

Passo 4

Potencial na superfície ( ).
  1. Definição: .
  2. Pra , usamos .
  3. Então

Passo 5

Trabalho Wrm dentro =12integral0^a varepsilon,E^2,4pi r^2 dr =12integral0^a E,D,4pi r^2 dr =Q^240pi,varepsilon,a, pra reunir carga Wrm fora =12integrala^infty varepsilon0 E^2,4pi r^2 dr =Q^28pi,varepsilon0,a, uniformemente na esfera de dielétrico.
Método mais direto: energia eletrostática
W =Wrm dentro+Wrm fora =Q^28pi,varepsilon0,a +Q^240pi,varepsilon,a, sobre todo o espaço.
  1. Dentro ( ):
    .
    Volume elementar .
  2. Fora ( ):
    ,
  3. Soma total

Passo 6

Densidade de carga polarizada na superfície, D(a)=Q4pi a^2, E(a)=Q4pivarepsilon,a^2 .
  1. Polarização no dielétrico: .
  2. Na borda , dentro do dielétrico Logo
    .
  3. A carga ligada superficial é

Resposta

Eis os resultados finais:
  1. Dentro ( ):
  2. Fora ( ):
  3. Potencial na superfície:
  4. Trabalho total:
  5. Densidade de carga polarizada na superfície:

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