Dado o espaço vetorial
, considere os conjuntos de vetores
e
(contidos no espaço) e um vetor genérico
definido por
.
I. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de
.
II. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de
.
III. Determine a condição que um vetor
deve satisfazer para que quando adicionado a
ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de
podem ser adicionados a
para formar uma base de
.
Os conjuntos
e
atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II.
I. Determine a decomposição de
II. Determine a decomposição de
III. Determine a condição que um vetor
IV. Determine quais vetores de
Passo 1
O exercício pede para a gente trabalhar com espaços gerados por vetores em
, encontrar decomposições de um vetor genérico
nos subespaços gerados por certos
, achar as restrições que definem esses subespaços, e depois ver quando um novo vetor entra em independência e quais
podemos usar para completar uma base.
Passo 2
Resumo: vamos usar operações elementares em sistemas lineares para escrever
(caso I) e
(caso II), identificando as equações que obrigam certas combinações de
. Depois, para III, a condição de independência é justamente não satisfazer a equação que define o span de
. No IV, é só testar cada
nessa equação.
Passo 3
Para I, escrevemos
que dá o sistema
.
Daí
.
Como e substituindo em
surge a restrição
Como
]
Passo 4
Para II, fazemos
que dá
.
Logo
.
Da equação de sai a condição
ou equivalentemente
Da equação de
ou equivalentemente
Passo 5
Para III, um vetor
fica independente de
se e só se ele NÃO pertence a
. Ou seja, precisa violar
Logo a condição de independência é
Passo 6
Para IV, testamos cada
na mesma equação. Em particular:
- Para
dá
, então está no span e NÃO serve. - Para
dá não nulo, serve. - Para
dá não nulo, serve.
Logo podemos adicionarou para completar uma base de .
Resposta
I.
com
,
e o subespaço
II. com
e o subespaço
III. Para ser LI com
, deve violar
, ou seja
.
IV. Dos dados, apenas
e
satisfazem essa violação, então são eles que podemos adicionar a
para formar uma base de
.
II.
e o subespaço
III. Para
IV. Dos