Dado o espaço vetorial R^4, considere os conjuntos de vetores U=u1, u2, u3 e V=v1, v2, v3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R^4 definido por z=(z1, z2, z3, z4).
I. Determine a decomposição de z sobre o subespaço R^2 gerado pelos vetores u1, u2 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
II. Determine a decomposição de z sobre o subespaço R^3 gerado pelos vetores u1, u2, u3 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
III. Determine a condição que um vetor u4=(a, b, c, d) deve satisfazer para que quando adicionado a U ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de V podem ser adicionados a U para formar uma base de R^4.
Os conjuntos U e V atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II.
ll u1=(0, 12, 0,-43) & v1=(1, 12, 0,-32) u2=(-4,-2,0,6) & v2=(34,-3,-1, 13) u3=(23, 32, 3,-23) & v3=(54, 74,-7,1)

Passo 1

O exercício pede para a gente trabalhar com espaços gerados por vetores em R^4, encontrar decomposições de um vetor genérico z=(z1,z2,z3,z4) nos subespaços gerados por certos ui, achar as restrições que definem esses subespaços, e depois ver quando um novo vetor entra em independência e quais vj podemos usar para completar uma base.

Passo 2

Resumo: vamos usar operações elementares em sistemas lineares para escrever
z=alpha u1+beta u2 (caso I) e
z=alpha u1+beta u2+gamma u3 (caso II), identificando as equações que obrigam certas combinações de zi. Depois, para III, a condição de independência é justamente não satisfazer a equação que define o span de u1, u2, u3. No IV, é só testar cada vj nessa equação.

Passo 3

Para I, escrevemos
que dá o sistema
.
Daí
.
Como e substituindo em surge a restrição
]

Passo 4

Para II, fazemos
que dá
.
Logo
.
Da equação de sai a condição

ou equivalentemente

Passo 5

Para III, um vetor fica independente de se e só se ele NÃO pertence a . Ou seja, precisa violar
Logo a condição de independência é

Passo 6

Para IV, testamos cada vj=(vj1,vj2,vj3,vj4) na mesma equação. Em particular:
  • Para v1=(1,tfrac12,0,-tfrac32)
    9cdot1+144cdottfrac12-62cdot0+54cdot(-tfrac32)=0, então v1 está no span e NÃO serve.
  • Para v2=(tfrac34,-3,-1,tfrac13) dá não nulo, serve.
  • Para v3=(tfrac54,tfrac74,-7,1) dá não nulo, serve.
    Logo podemos adicionar v2 ou v3 para completar uma base de R^4.

Resposta

I. z=alpha u1+beta u2 com beta=-tfracz14, alpha=2z2-z1 e o subespaço
S2=(z1,z2,z3,z4)mid z3=0,,z1+16z2+6z4=0
II. z=alpha u1+beta u2+gamma u3 com
gamma=tfracz33,beta=-tfracz14+tfracz318,alpha=2z2-z1-tfrac79z3
e o subespaço
S3=(z1,z2,z3,z4)mid 9z1+144z2-62z3+54z4=0
III. Para u4=(a,b,c,d) ser LI com U, deve violar
9a+144b-62c+54d=0, ou seja
9a+144b-62c+54dneq0.
IV. Dos vj dados, apenas v2 e v3 satisfazem essa violação, então são eles que podemos adicionar a U para formar uma base de R^4.

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