Exercício 4.
Resolva o sistema linear abaixo por escalonamento:
l x+2 y+z=9 2 x+3 y+z=13 x+y+z=6

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema linear
x+2y+z=9 2x+3y+z=13 x+y+z=6
O conteúdo aqui é escalonamento (eliminação de Gauss) e vamos precisar montar a matriz aumentada e usar operações elementares para chegar num sistema triangular.

Passo 2

Escrever a matriz aumentada do sistema. Isso faz a aplicação das operações ficar mais organizada:
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 9 2 & 3 & 1 & 13 1 & 1 & 1 & 6 ]
Aqui cada linha representa uma equação e a barra separa os coeficientes do vetor de termos independentes.

Passo 3

Usar o pivô da primeira linha (o 1 na posição (1,1)) para zerar as entradas abaixo na coluna de x. Aplicamos as operações:
  • R₂ → R₂ – 2·R₁
  • R₃ → R₃ – R₁
Após isso, a matriz fica:
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 9 0 & -1 & -1 & -5 0 & -1 & 0 & -3 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (o -1 em (2,2)) para zerar a entrada em (3,2). Fazemos:
  • R₃ → R₃ – R₂
Isso leva a matriz para a forma triangular:
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 9 0 & -1 & -1 & -5 0 & 0 & 1 & 2 ]
Onde já é fácil isolar a última variável.

Passo 5

Resolver o sistema triangular por retro-substituição. Da terceira linha vem
1cdot z = 2 implies z = 2
Substituindo na segunda linha:
-1cdot y - 1cdot z = -5 implies -y -2 = -5 implies y = 3
Por fim, na primeira linha:
x + 2y + z = 9 implies x + 2cdot3 + 2 = 9 implies x = 1

Resposta

x = 1, y = 3, z = 2

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