Dado o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Determine o complemento ortogonal dos seguintes subespaços vetoriais:
(a) V=P2(R) e W=>=r1-x^2, 2 x+x^2

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal
W^perp = ,pin Vmid lang<= p,wrang<= = 0;forall win W,
onde V= P2( R) com o produto interno canônico e
W=span,1-x^2,;2x+x^2
Para achar W^perp basta exigir lang<= p,,1-x^2rang<==0 e lang<= p,,2x+x^2rang<==0.

Passo 2

Em coordenadas na base 1,x,x^2, o produto interno canônico é
lang<= p,qrang<= = a,d + b,e + c,f
se p(x)=a+bx+cx^2 e q(x)=d+ex+fx^2.

Passo 3

Seja p(x)=a+bx+cx^2. Ortogonalidade a w1(x)=1-x^2
lang<= p,1-x^2rang<= = acdot1 + bcdot0 + ccdot(-1) = a - c = 0 Longrightarrow a = c

Passo 4

Ortogonalidade a w2(x)=2x+x^2
lang<= p,2x+x^2rang<= = acdot0 + bcdot2 + ccdot1 = 2b + c = 0 Longrightarrow c = -2b

Passo 5

Combinando a=c e c=-2b obtemos a=-2b. Logo
p(x)=a+bx+cx^2 = -2b + b,x -2b,x^2 = bl(-2 + x -2x^2r)
Portanto
W^perp = span,-2 + x - 2x^2

Resposta

W^perp = span,-2 + x - 2x^2

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