Generalizando o exercício anterior, considere o espaço vetorial
.
Define-se a aplicação
Verifique que
é um produto interno.
E se a aplicação for
também seria produto interno? Justifique.
Define-se a aplicação
Verifique que
E se a aplicação for
também seria produto interno? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre produtos internos no espaço das matrizes
. Precisamos verificar se duas definições diferentes realmente funcionam como um produto interno. Para isso, vamos lembrar o que é um produto interno e quais propriedades ele precisa ter. Vamos usar um pouco de álgebra linear e traços de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
- Positividade:
e se e somente se . - Linearidade no primeiro argumento:
para escalares . - Simetria:
. - Bilinearidade: Combinação de linearidade e simetria.
Vamos verificar essas propriedades para a primeira aplicação:
.
Passo 3
Positividade:
Calculamos
. O traço de
é a soma dos quadrados dos elementos de
, que sempre é maior ou igual a zero. Além disso,
se e somente se todos os elementos de
são zero, ou seja,
.
Linearidade no primeiro argumento:
Para quaisquer matrizes
e escalares
, temos:
Simetria:
Como todas as propriedades estão satisfeitas,
é de fato um produto interno.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda aplicação:
.
Simetria:
Primeiro, verificamos se é simétrica:
Em geral,
, então a simetria parece estar ok.
Positividade:
Vamos calcular
. Isso ainda é a soma dos quadrados dos elementos de
, então também é maior ou igual a zero, e zero se e somente se
.
Linearidade:
A linearidade no primeiro argumento também se mantém da mesma forma que no primeiro caso.
Concluindo, todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas para
.
Resposta
Sim, ambas as aplicações definem um produto interno no espaço
. A primeira,
, e a segunda,
, satisfazem todas as propriedades necessárias de um produto interno.