Generalizando o exercício anterior, considere o espaço vetorial M(m, n).
Define-se a aplicação
lang<= A, Brang<==tr(A^t B), forall A, B in M(m, n)
Verifique que lang<=cdot, cdotrang<= é um produto interno.
E se a aplicação for
lang<= A, Brang<==tr(A B^t), forall A, B in M(m, n)
também seria produto interno? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre produtos internos no espaço das matrizes M(m, n) . Precisamos verificar se duas definições diferentes realmente funcionam como um produto interno. Para isso, vamos lembrar o que é um produto interno e quais propriedades ele precisa ter. Vamos usar um pouco de álgebra linear e traços de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Positividade: lang<= A, A rang<= >= 0 e lang<= A, A rang<= = 0 se e somente se A = 0.
  2. Linearidade no primeiro argumento: lang<= aA + bB, C rang<= = alang<= A, C rang<= + blang<= B, C rang<= para escalares a, b.
  3. Simetria: lang<= A, B rang<= = lang<= B, A rang<=.
  4. Bilinearidade: Combinação de linearidade e simetria.
Vamos verificar essas propriedades para a primeira aplicação: lang<= A, B rang<= = tr(A^t B).

Passo 3

Positividade:
Calculamos lang<= A, A rang<= = tr(A^t A). O traço de A^t A é a soma dos quadrados dos elementos de A, que sempre é maior ou igual a zero. Além disso, tr(A^t A) = 0 se e somente se todos os elementos de A são zero, ou seja, A = 0.
Linearidade no primeiro argumento:
Para quaisquer matrizes A, B, C e escalares a, b, temos:
lang<= aA + bB, C rang<= = tr((aA + bB)^t C) = a,tr(A^t C) + b,tr(B^t C) = alang<= A, C rang<= + blang<= B, C rang<=
Simetria:
lang<= A, B rang<= = tr(A^t B) = tr(B^t A) = lang<= B, A rang<=
Como todas as propriedades estão satisfeitas, lang<= A, B rang<= = tr(A^t B) é de fato um produto interno.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda aplicação: lang<= A, B rang<= = tr(A B^t).
Simetria:
Primeiro, verificamos se é simétrica:
lang<= A, B rang<= = tr(A B^t)
lang<= B, A rang<= = tr(B A^t)
Em geral, tr(A B^t) = tr(B A^t), então a simetria parece estar ok.
Positividade:
Vamos calcular lang<= A, A rang<= = tr(A A^t). Isso ainda é a soma dos quadrados dos elementos de A, então também é maior ou igual a zero, e zero se e somente se A = 0.
Linearidade:
A linearidade no primeiro argumento também se mantém da mesma forma que no primeiro caso.
Concluindo, todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas para lang<= A, B rang<= = tr(A B^t).

Resposta

Sim, ambas as aplicações definem um produto interno no espaço M(m, n) . A primeira, lang<= A, B rang<= = tr(A^t B), e a segunda, lang<= A, B rang<= = tr(A B^t), satisfazem todas as propriedades necessárias de um produto interno.

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