Seja B=(-1,1),(1,1) uma base de R^2. Ache uma base ortonormal BO de R^2 em relação ao produto interno
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==2 x1 x2-x1 y2-x2 y1+y1 y2
começando da base B.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal BO de R^2 a partir da base B=v1,v2 com
v1 = (-1,1), v2 = (1,1),
usando o produto interno
lang<= (x1,y1),(x2,y2)rang<= = 2x1x2 - x1y2 - x2y1 + y1y2
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para produzir vetores ortogonais e depois normalizar cada um.

Passo 2

Escolhemos u1 = v1 = (-1,1). Calculamos
lang<= u1,u1rang<= = 2(-1)(-1) - (-1)cdot1 -(-1)cdot1 +1cdot1 =2+1+1+1=5
Logo |u1| = raiz5 e
e1 = u1|u1| = 1raiz5,(-1,1)

Passo 3

Agora tomamos v2=(1,1) e subtraímos sua projeção sobre u1:
lang<= v2,u1rang<= =2cdot1cdot(-1)-1cdot1-(-1)cdot1+1cdot1 =-2-1+1+1=-1,
e o coeficiente de projeção é
alpha = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= = -15
Logo
u2 = v2 - alpha,u1 = (1,1) - l(-tfrac15r),(-1,1) = (1,1) + tfrac15(-1,1) = l(tfrac45,tfrac65r)

Passo 4

Calculamos agora a norma de u2:
lang<= u2,u2rang<= =2l(tfrac45r)^2 -2l(tfrac45cdottfrac65r) +l(tfrac65r)^2 =32-48+3625 =2025 =45,
portanto |u2|=raiztfrac45=tfrac2raiz5. Assim
e2 = u2|u2| = raiz52,l(tfrac45,tfrac65r) = l(tfrac2raiz55,tfrac3raiz55r) = l(tfrac2raiz5,tfrac3raiz5r)

Resposta

Uma base ortonormal em relação ao produto interno dado é
BO = l,e1,e2r = l;(-tfrac1raiz5,,tfrac1raiz5),; (tfrac2raiz5,,tfrac3raiz5)r

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