Um losango é um paralelogramo com os quatro lados de comprimentos iguais. Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado diz que temos um losango, isto é, um paralelogramo cujos quatro lados são iguais. Queremos provar que as duas diagonais desse quadrilátero se cruzam formando um ângulo reto. Para isso vamos usar duas propriedades clássicas:
  1. Num paralelogramo, as diagonais se bissetam (ou seja, cada diagonal é dividida ao meio no ponto de interseção).
  2. Critério de congruência Lado–Lado–Lado (LLL) em triângulos.

Passo 2

Seja ABCD o losango, e seja O o ponto de interseção das diagonais AC e BD. Como ABCD é um paralelogramo, temos
AO = CO e BO = DO
porque as diagonais de um paralelogramo se bissetam.

Passo 3

Além disso, como ABCD é um losango, todos os seus lados são iguais:
AB = BC = CD = DA
Em particular, AB = CD. Agora, considere os triângulos triang<= AOB e triang<= COD. Neles temos:
AO = CO, BO = DO, AB = CD
Pelo critério LLL, esses dois triângulos são congruentes.

Passo 4

Da congruência de triang<= AOB e triang<= COD segue que
ang<= AOB = ang<= COD
Por outro lado, ang<= AOB e ang<= COD são ângulos opostos pelo vértice, logo formam um par linear e sua soma vale 180^circ. Como são iguais, cada um deve medir
180^circ2 = 90^circ
Portanto, as diagonais AC e BD se interceptam em ângulo reto.

Resposta

As diagonais de um losango são perpendiculares, pois formam um ângulo de 90^circ.

Exercícios relacionados