Um losango é um paralelogramo com os quatro lados de comprimentos iguais. Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares.
Passo 1
O enunciado diz que temos um losango, isto é, um paralelogramo cujos quatro lados são iguais. Queremos provar que as duas diagonais desse quadrilátero se cruzam formando um ângulo reto. Para isso vamos usar duas propriedades clássicas:
- Num paralelogramo, as diagonais se bissetam (ou seja, cada diagonal é dividida ao meio no ponto de interseção).
- Critério de congruência Lado–Lado–Lado (LLL) em triângulos.
Passo 2
Seja
o losango, e seja
o ponto de interseção das diagonais
e
. Como
é um paralelogramo, temos
porque as diagonais de um paralelogramo se bissetam.
Passo 3
Além disso, como
é um losango, todos os seus lados são iguais:
Em particular,
. Agora, considere os triângulos
e
. Neles temos:
Pelo critério LLL, esses dois triângulos são congruentes.
Passo 4
Da congruência de
e
segue que
Por outro lado,
e
são ângulos opostos pelo vértice, logo formam um par linear e sua soma vale
. Como são iguais, cada um deve medir
Portanto, as diagonais
e
se interceptam em ângulo reto.
Resposta
As diagonais de um losango são perpendiculares, pois formam um ângulo de
.