Dado o espaço vetorial R4, considere os conjuntos de vetores U=u 1, u 2, u 3 e V=v 1, v 2, v 3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R 4 definido por z=(z 1, z 2, z 3, z 4).
Determine a decomposição de z sobre o subespaço R3 gerado pelos vetores u 1, u 2, u 3 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
Tabela II:
l u 1=(5 / 2,-4 / 3,0,-4 / 3) v 1=(-2 / 3,-1,-6,0) u 2=(1,0,-5,0) v 2=(3,3 / 2,-1,0) u 3=(5 / 3,1,1,0) v 3=(-7,3 / 2,0,-7 / 2)

Passo 1

Temos o espaço R^4 e o subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
u1=l(tfrac52,-tfrac43,0,-tfrac43r), u2=(1,0,-5,0), u3=l(tfrac53,1,1,0r)
Dado um vetor genérico
z=(z1,z2,z3,z4),
queremos encontrar escalares a,b,c tais que
z = a,u1 + b,u2 + c,u3
(se zin W) e descrever W como um conjunto de restrições nas componentes de z.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada o sistema
a,u1 + b,u2 + c,u3 = (z1,z2,z3,z4),
temos as quatro equações lineares:
z1 = tfrac52,a + 1cdot b + tfrac53,c, z2 = -tfrac43,a + 0cdot b + 1cdot c, z3 = 0cdot a -5,b + 1cdot c, z4 = -tfrac43,a + 0cdot b + 0cdot c

Passo 3

Da quarta equação
z4 = -tfrac43,a
segue
a = -tfrac34,z4

Passo 4

Substituindo a na segunda equação
z2 = -tfrac43,l(-tfrac34,z4r) + c Longrightarrow z2 = z4 + c ;Longrightarrow; c = z2 - z4

Passo 5

Agora, usando c na terceira equação
z3 = -5,b + c Longrightarrow -5,b = z3 - (z2 - z4) ;Longrightarrow; b = z2 - z3 - z45

Passo 6

Verificamos a primeira equação como condição de consistência. Substituindo
a=-tfrac34z4, b=tfracz2 - z3 - z45, c=z2 - z4
em
z1 = tfrac52,a + b + tfrac53,c,
obtém-se, após simplificar, a restrição
z1 = tfrac2815,z2 ;-;tfrac15,z3 ;-;tfrac449120,z4

Passo 7

Portanto, a decomposição de z em função dos geradores de W é
a=-tfrac34,z4, b=tfracz2 - z3 - z45, c=z2 - z4,
isto é
z ;=; l(-tfrac34,z4r),u1 ;+; l(tfracz2 - z3 - z45r),u2 ;+; l(z2 - z4r),u3

Resposta

O subespaço W=Spanu1,u2,u3subsetR^4 é precisamente
W=l(z1,z2,z3,z4)inR^4 ;|; z1=tfrac2815,z2 - tfrac15,z3 - tfrac449120,z4 r,
e, para todo zin W, os coeficientes da combinação linear
z = a,u1 + b,u2 + c,u3
são
a=-tfrac34,z4, b=tfracz2 - z3 - z45, c=z2 - z4

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