Exercício 4.6 Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar:
  • as coordenadas do vértice;
  • as coordenadas do foco;
  • a amplitude focal;
  • a equação da diretriz.
y^2-4 y-6 x+13=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y^2-4y-6x+13=0
e pede a forma reduzida, o vértice, o foco, a amplitude focal e a equação da diretriz. Para isso vamos completar o quadrado em y e comparar com o modelo
(y-k)^2=4p(x-h)

Passo 2

Agrupando os termos em y e completando o quadrado:
y^2-4y-6x+13=0 Longrightarrow y^2-4y=6x-13
Adiciono 4 em ambos os lados:
y^2-4y+4=6x-9 Longrightarrow (y-2)^2=6x-9
Reescrevendo 6x-9=6l(x-tfrac32r) obtém-se a forma reduzida
(y-2)^2=6l(x-tfrac32r)
Comparando com (y-k)^2=4p(x-h) vem k=2, h=tfrac32 e 4p=6, ou seja p=tfrac32.

Passo 3

O vértice (h,k) é
l(tfrac32,2r)

Passo 4

O foco está a distância p no eixo x a partir do vértice, pois a parábola abre para a direita. Assim
l(h+p,;kr) = l(tfrac32+tfrac32,;2r) = (3,2)

Passo 5

A amplitude focal (comprimento do latus rectum) é lvert4prvert, logo
lvert4prvert=6

Passo 6

A diretriz é a reta x=h-p, ou seja
x=tfrac32-tfrac32=0

Resposta

Forma reduzida: (y-2)^2=6l(x-tfrac32r)
Vértice: l(tfrac32,2r)
Foco: (3,2)
Amplitude focal: 6
Diretriz: x=0

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