Dado V um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
a) Todo conjunto B=v1, v2,, vn subset V, contendo o vetor nulo é L.D;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação a) “Todo conjunto B=v1,v2,dots,vnsubset V que contém o vetor nulo é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é definição de dependência linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Recordando a definição, dizemos que um conjunto B é linearmente dependente se existem escalares alpha1,dots,alphan, nem todos nulos, tais que
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn=0

Passo 3

Suponha que B contenha o vetor nulo; ou seja, exista índice k tal que vk=0. Então basta escolher
alphak=1 e alphai=0(forall,ineq k)
Com isso
sumi=1^nalphaivi =underbracealphakvk=1cdot0+sumineq k0cdot vi =0,
e claramente nem todos os alphai são zero (pois alphak=1).

Passo 4

Como encontramos uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero, concluímos que B é linearmente dependente sempre que contém o vetor nulo.

Resposta

a) Verdadeira.

Exercícios relacionados