Dado um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
a) Todo conjunto , contendo o vetor nulo é L.D;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação a) “Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é definição de dependência linear em espaços vetoriais.
Passo 2
Recordando a definição, dizemos que um conjunto é linearmente dependente se existem escalares , nem todos nulos, tais que
Passo 3
Suponha que contenha o vetor nulo; ou seja, exista índice tal que . Então basta escolher
Com isso
e claramente nem todos os alphai são zero (pois alphak=1).
Passo 4
Como encontramos uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero, concluímos que B é linearmente dependente sempre que contém o vetor nulo.