Dado um espaço vetorial
. Determine um produto interno sobre
tal que:
Sendo
e
seja uma base ortonormal de
.
Sendo
Passo 1
O enunciado pede para definir um produto interno em
de modo que a base
seja ortonormal.
O conteúdo é “construção de produto interno a partir de uma base ortonormal”: basta declarar que em coordenadas dessa base o produto interno é o escalar usual.
O conteúdo é “construção de produto interno a partir de uma base ortonormal”: basta declarar que em coordenadas dessa base o produto interno é o escalar usual.
Passo 2
Seja
e
vetores quaisquer de
. Vamos achar suas coordenadas
e
na base
.
Como
temos
e
.
Análogo para :
Análogo para
logo
e
.
Passo 3
Como
é ortonormal, definimos o produto interno em coordenadas como
Substituindo
e
, vem