Dado um espaço vetorial V. Determine um produto interno sobre V tal que:
Sendo V=P_{1}(\mathbb{R}) e \beta=\{1,3 t\} seja uma base ortonormal de V.

Passo 1

O enunciado pede para definir um produto interno em V = P_{1}(\mathbb{R}) de modo que a base
\beta = \{\,1,\;3t\}
seja ortonormal.
O conteúdo é “construção de produto interno a partir de uma base ortonormal”: basta declarar que em coordenadas dessa base o produto interno é o escalar usual.

Passo 2

Seja p(t)=a+bt e q(t)=c+dt vetores quaisquer de V. Vamos achar suas coordenadas (\alpha_{1},\alpha_{2}) e (\beta_{1},\beta_{2}) na base \beta.
Como
p(t)=a+bt = \alpha_{1}\cdot1 + \alpha_{2}\cdot(3t),
temos \alpha_{1}=a e \alpha_{2}=\tfrac{b}{3}.
Análogo para q:
q(t)=c+dt = \beta_{1}\cdot1 + \beta_{2}\cdot(3t),
logo \beta_{1}=c e \beta_{2}=\tfrac{d}{3}.

Passo 3

Como \beta é ortonormal, definimos o produto interno em coordenadas como
\langle p,q\rangle = \alpha_{1}\beta_{1} + \alpha_{2}\beta_{2}.
Substituindo \alpha_{i} e \beta_{i}, vem
\langle a+bt,\;c+dt\rangle = a\,c \;+\; \frac{b}{3}\,\frac{d}{3} = a c \;+\;\frac{b d}{9}.

Resposta

\boxed{\langle a+bt,\;c+dt\rangle = a\,c \;+\;\frac{b\,d}{9}.}

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