Sabendo que:
[\mathrm{I}]_{B}^{A}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 4 \\\\ 4 & -11\end{array}\right) e B=\{(3,5),(1,2)\},
Determinar a base A.

Passo 1

O enunciado fornece a base B=\{b_1,b_2\} com
b_1=(3,5),\quad b_2=(1,2)
e a matriz de mudança de coordenadas de A para B, denotada [I]_B^A. Essa matriz serve para converter coordenadas de um vetor em relação à base A nas coordenadas em relação à base B.

Passo 2

Pela teoria de mudança de base, as colunas de [I]_B^A são justamente as coordenadas dos vetores de A=\{a_1,a_2\} expressos na base B. Ou seja, se
[I]_B^A = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\[6pt]4 & -11\end{pmatrix},
então
[a_1]_B = \begin{pmatrix}-1\\[3pt]4\end{pmatrix}, \qquad [a_2]_B = \begin{pmatrix}4\\[3pt]-11\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para encontrar a_1 e a_2 nas coordenadas padrão, usamos que
a_1 = -1\,b_1 + 4\,b_2, \qquad a_2 = 4\,b_1 - 11\,b_2.

Passo 4

Calculando em \mathbb{R}^2:
a_1 = -1\,(3,5) + 4\,(1,2) = (-3,-5) + (4,8) = (1,3),
a_2 = 4\,(3,5) - 11\,(1,2) = (12,20) + (-11,-22) = (1,-2).

Resposta

A base A é
A = \bigl\{(1,3),\,(1,-2)\bigr\}.

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