Se
[\mathrm{I}]_{B}^{A}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)
Determinar [\mathrm{v}]_{\mathrm{A}}, sabendo que:
[\mathrm{v}]_{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de coordenadas da base B para a base A,
[I]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para encontrar as coordenadas de \mathrm{v} na base A, sabendo que em B elas são
[\mathrm{v}]_{B} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

Sabemos que a relação entre as coordenadas é
[\mathrm{v}]_{A} \;=\; [I]_{B}^{A}\,[\mathrm{v}]_{B}.
Ou seja, basta multiplicar a matriz de mudança de base pelo vetor de coordenadas em B.

Passo 3

Vamos multiplicar:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot3 + 1\cdot(-2) + 0\cdot0\\\\ 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 0\cdot0\\\\ 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

[\mathrm{v}]_{A} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

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