Sejam e F=(f1, f2, f3) duas bases de V^3. Dado que E é uma base positiva, determine a orientação da base F em cada um dos casos: lf1=e1-2 e2-e3 f2=3 e1-e2+2 e3 f3=e2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas bases no espaço tridimensional [V^{3}): a base que é positiva, e a base definida por:
Nosso objetivo é descobrir qual a orientação da base . Para isso, vamos precisar entender o que significa orientação de uma base e como determinar se ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a orientação de uma base em V^3 está relacionada ao determinante da matriz de mudança de base entre as duas bases. Se o determinante for positivo, as duas bases têm a mesma orientação (positiva), e se for negativo, têm orientações opostas (negativa).
Então, para encontrar a orientação da base F em relação à base E , precisamos montar a matriz cujas colunas são os vetores de F expressos na base E e calcular o seu determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz A com os vetores f1 , f2 e f3 como colunas, expressos em termos de e1 , e2 e e3 :
A = 1 & 3 & 0 -2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0
Aqui, cada coluna representa as coordenadas de f1 , f2 e f3 na base E .
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz A :
det(A) = 1 & 3 & 0 -2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0
Para calcular o determinante, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos fazer pela expansão:
O determinante da matriz A é -5, que é um número negativo. Como o determinante é negativo, isso significa que a base F tem orientação oposta à base E .
Resposta
A base F possui orientação negativa em relação à base positiva E .