Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) duas bases de V^3. Dado que E é uma base positiva, determine a orientação da base F em cada um dos casos:
lf1=e1-2 e2-e3 f2=3 e1-e2+2 e3 f3=e2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases no espaço tridimensional [V^{3}): a base que é positiva, e a base definida por:
Nosso objetivo é descobrir qual a orientação da base . Para isso, vamos precisar entender o que significa orientação de uma base e como determinar se ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a orientação de uma base em V^3 está relacionada ao determinante da matriz de mudança de base entre as duas bases. Se o determinante for positivo, as duas bases têm a mesma orientação (positiva), e se for negativo, têm orientações opostas (negativa).
Então, para encontrar a orientação da base F em relação à base E , precisamos montar a matriz cujas colunas são os vetores de F expressos na base E e calcular o seu determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores f1 , f2 e f3 como colunas, expressos em termos de e1 , e2 e e3 :
A = 1 & 3 & 0 -2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0
Aqui, cada coluna representa as coordenadas de f1 , f2 e f3 na base E .

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A :
det(A) = 1 & 3 & 0 -2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0
Para calcular o determinante, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos fazer pela expansão:
det(A) = 1 cdot -1 & 1 2 & 0 - 3 cdot -2 & 1 -1 & 0 + 0 cdot -2 & -1 -1 & 2
Calculando cada determinante menor:
-1 & 1 2 & 0 = (-1)(0) - (1)(2) = -2
-2 & 1 -1 & 0 = (-2)(0) - (1)(-1) = 1
-2 & -1 -1 & 2 = (-2)(2) - (-1)(-1) = -4 -1 = -5
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (-2) - 3 cdot 1 + 0 cdot (-5) = -2 -3 + 0 = -5

Passo 5

O determinante da matriz A é -5, que é um número negativo. Como o determinante é negativo, isso significa que a base F tem orientação oposta à base E .

Resposta

A base F possui orientação negativa em relação à base positiva E .

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