Dado o espaço vetorial V=(x, y, z) in R^3 / 2 x+y-z=0
Determine uma base B deste espaço vetorial V.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (x,y,z)inR^3mid 2x + y - z = 0
Estamos em R^3 com uma única equação linear, logo V é um plano de dimensão 2. Para achar uma base, basta parametrizar as coordenadas satisfazendo essa equação.

Passo 2

Da equação 2x + y - z = 0 segue
z = 2x + y
Logo um vetor qualquer em V pode ser escrito como
(x,y,z) = (x,y,2x+y) = x,(1,0,2) + y,(0,1,1)
Isso mostra que
V = Span(1,0,2),,(0,1,1)

Passo 3

Verificamos que os vetores (1,0,2) e (0,1,1) são linearmente independentes, pois a combinação
alpha(1,0,2) + beta(0,1,1) = (0,0,0)
implica alpha=0 e beta=0. Como eles geram V e são dois, formam uma base de dimensão 2.

Resposta

A base escolhida é
B = (1,0,2),,(0,1,1)

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