Seja V=(x, y) in R^2 / x, y>0 um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
& (x, y)+(z, t)=(x z, y t) & k(x, y)=(x^k, y^k), k in R
Calcule:
a) O elemento neutro do espaço vetorial V com as operações dadas. Justifique sua resposta.
b) Encontre o elemento oposto do vetor (x, y) in V. Justifique sua resposta.
c) Calcule 3 [(1,3)-(3,2)]-2(2,1).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V=(x,y)inR^2mid x,y>0
com as operações
(x,y)+(z,t)=(x,z,;y,t), k(x,y)=(x^k,;y^k)
Pede-se:
a) o elemento neutro aditivo;
b) o oposto de (x,y);
c) o valor de
3cdotl[(1,3)-(3,2)r];-;2(2,1)

Passo 2

Procuramos (e1,e2) tal que
(x,y)+(e1,e2)=(x,y)
Pela definição da soma isso dá
(x,e1,;y,e2)=(x,y),
logo e1=1 e e2=1.
Portanto, o neutro aditivo é
(1,1)

Passo 3

Buscamos (u1,u2) tal que
(x,y)+(u1,u2)=(1,1)
Isso exige
x,u1=1, y,u2=1,
ou seja u1=tfrac1x e u2=tfrac1y.
Logo, o oposto de (x,y) é
l(tfrac1x,tfrac1yr)

Passo 4

Primeiro calculamos
(1,3)-(3,2)=(1,3)+(3,2)^-1
Do passo anterior segue
(3,2)^-1=l(tfrac13,tfrac12r),
portanto
(1,3)-(3,2) =l(1cdottfrac13,,3cdottfrac12r) =l(tfrac13,tfrac32r)
Em seguida, multiplicamos esse resultado por 3:
3l(tfrac13,tfrac32r) =l((tfrac13)^3,;(tfrac32)^3r) =l(tfrac127,tfrac278r)

Passo 5

Agora calculamos
2(2,1) =(2^2,;1^2) =(4,1)

Passo 6

Por fim, fazemos
l(tfrac127,tfrac278r)-(4,1) =l(tfrac127,tfrac278r)+(4,1)^-1
Temos (4,1)^-1=(tfrac14,1), logo
l(tfrac127cdottfrac14,;tfrac278cdot1r) =l(tfrac1108,tfrac278r)

Resposta

a) O neutro aditivo é (1,1).
b) O oposto de (x,y) é l(tfrac1x,tfrac1yr).
c)
3cdotl[(1,3)-(3,2)r];-;2(2,1) =l(tfrac1108,tfrac278r)

Exercícios relacionados