Responda e justifique se cada função abaixo é ou não uma transformação linear.
(Expansão ou contração) T: R^2 R^2 dada por T(v)=alpha v, onde alpha in R;

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(v)=alpha v,
onde alphainR é uma constante. O conteúdo é o de transformações lineares em espaços vetoriais sobre R. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar as duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,vinR^2.
  2. Homogeneidade: T(c,v)=c,T(v) para todo escalar cinR e todo vinR^2.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u,vinR^2. Então
T(u+v)=alpha,(u+v)=alpha u+alpha v=T(u)+T(v)
Portanto, a propriedade T(u+v)=T(u)+T(v) está satisfeita.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e vinR^2. Então
T(c,v)=alpha,(c,v)=c,(alpha v)=c,T(v)
Logo, a propriedade T(c,v)=c,T(v) também vale.

Resposta

A aplicação T(v)=alpha v é transformação linear para todo alphainR.

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