Uma função é dita par se, para todo x no seu domínio, vale f(x)=f(-x); Uma função é dita ímpar se, para todo x no seu domínio, vale f(x)=-f(-x).
Mostre que o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares, é uma função par.

Passo 1

Vamos lembrar as definições e o que queremos mostrar. Uma função f é par se, para todo x em seu domínio,
f(x)=f(-x),
e é ímpar se, para todo x,
f(x)=-f(-x)
Denotando por (fcdot g)(x) o produto de duas funções f e g, temos
(fcdot g)(x)=f(x)cdot g(x)
O objetivo é verificar que, se f e g são ambas pares ou ambas ímpares, então (fcdot g) satisfaz
(fcdot g)(-x)=(fcdot g)(x),
isto é, fcdot g é par.

Passo 2

Suponha que f e g sejam funções pares. Então, por definição, valem
f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x)
Logo,
(fcdot g)(-x) = f(-x)cdot g(-x) = f(x)cdot g(x) = (fcdot g)(x)
Isso mostra que o produto de duas funções pares é uma função par.

Passo 3

Agora suponha que f e g sejam funções ímpares. Nesse caso,
f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x)
Portanto,
(fcdot g)(-x) = f(-x)cdot g(-x) = l(-f(x)r)cdotl(-g(x)r) = f(x)cdot g(x) = (fcdot g)(x)
Assim, o produto de duas funções ímpares também é uma função par.

Resposta

O produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é uma função par.

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