Uma função é dita par se, para todo
no seu domínio, vale
; Uma função é dita ímpar se, para todo
no seu domínio, vale
.
Mostre que o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares, é uma função par.
Mostre que o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares, é uma função par.
Passo 1
Vamos lembrar as definições e o que queremos mostrar. Uma função
é par se, para todo
em seu domínio,
e é ímpar se, para todo
,
Denotando por
o produto de duas funções
e
, temos
O objetivo é verificar que, se
e
são ambas pares ou ambas ímpares, então
satisfaz
isto é,
é par.
Passo 2
Suponha que
e
sejam funções pares. Então, por definição, valem
Logo,
Isso mostra que o produto de duas funções pares é uma função par.
Passo 3
Agora suponha que
e
sejam funções ímpares. Nesse caso,
Portanto,
Assim, o produto de duas funções ímpares também é uma função par.
Resposta
O produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é uma função par.