Dado f(r, \theta)=r \operatorname{tg}(\theta)-r^{2} \operatorname{sen}(\theta), ache
f_{1}\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(r,\theta)=r\,\tan(\theta)-r^{2}\,\sin(\theta)
e pede f_{1}\bigl(\sqrt{2},\tfrac{\pi}{4}\bigr), ou seja, a derivada parcial de f em relação a r, avaliada em r=\sqrt{2} e \theta=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a r. Como
f(r,\theta)=r\,\tan(\theta)-r^{2}\,\sin(\theta),
tratamos \theta como constante e obtemos
\frac{\partial f}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,\tan(\theta)\bigr) -\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\,\sin(\theta)\bigr).
Pela regra do produto e da potência:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,\tan(\theta)\bigr) =\tan(\theta), \quad \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\,\sin(\theta)\bigr) =2r\,\sin(\theta).
Logo
f_{1}(r,\theta) =\tan(\theta)-2r\,\sin(\theta).

Passo 3

Agora substituímos r=\sqrt{2} e \theta=\tfrac{\pi}{4}. Sabemos que \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1 e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
f_{1}\Bigl(\sqrt{2},\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =1-2\sqrt{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2} =1-2= -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados