Mostre que (x-i y)^{2}=x^{2}-y^{2}-2 i x y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo números complexos
(x - i y)^{2} = x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y.
O conteúdo aqui é álgebra de números complexos: vamos usar a expansão do quadrado de um binômio e a propriedade \,i^{2} = -1.

Passo 2

Escrevemos o binômio como soma e aplicamos a fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com
a = x,\quad b = -\,i\,y.
Logo,
(x - i y)^{2} = \bigl(x + (-\,i\,y)\bigr)^{2} = x^{2} + 2\,x\cdot(-\,i\,y) + (-\,i\,y)^{2}.

Passo 3

Calculamos cada termo separadamente:
2\,x\cdot(-\,i\,y) = -\,2\,i\,x\,y,
(-\,i\,y)^{2} = (-\,i)^{2}\,y^{2} = i^{2}\,y^{2} = -1\cdot y^{2} = -\,y^{2}.

Passo 4

Substituindo esses resultados na soma, obtemos
(x - i y)^{2} = x^{2} + \bigl(-2\,i\,x\,y\bigr) + \bigl(-\,y^{2}\bigr) = x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y.

Resposta

(x - i y)^{2} = x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y.

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