Verifique se a função dada é uma solução da EDO :
\frac{d y}{d t}=25+y^{2} ; \quad y=y(t)=5 t g(5 t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(t)=5\tan\bigl(5t\bigr)
é solução da equação diferencial
\frac{dy}{dt}=25+y^{2}.
Para isso, vamos calcular \frac{dy}{dt} usando a regra da cadeia e depois comparar com 25+y^2.

Passo 2

Calculemos a derivada de y(t). Como y(t)=5\tan(5t), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dt} =5\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\tan(5t)\bigr] =5\cdot\operatorname{sec}^2(5t)\cdot\frac{d}{dt}(5t) =5\cdot\operatorname{sec}^2(5t)\cdot5 =25\,\operatorname{sec}^2(5t).

Passo 3

Use agora a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2(u)=1+\tan^2(u). Com u=5t:
\frac{dy}{dt} =25\bigl[1+\tan^2(5t)\bigr] =25+25\tan^2(5t).
Mas 25\tan^2(5t)=(5\tan(5t))^2=y^2. Logo
\frac{dy}{dt}=25+y^2.

Passo 4

Vimos que a derivada de y(t) coincide exatamente com o lado direito da EDO. Portanto a função dada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y(t)=5\tan(5t) é solução de \frac{dy}{dt}=25+y^2.

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