\text { Calcule } \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(5^{2}+k^{2}\right)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{\bigl(5^{2}+k^{2}\bigr)^{2}}\Bigr\},
ou seja, dado
F(k)=\frac{1}{\bigl(k^{2}+5^{2}\bigr)^{2}},
encontrar f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=F(k). O conteúdo é transformadas de Laplace e combinações lineares de funções básicas como \sin(at), \cos(at) e t\cos(at).

Passo 2

Lembramos transformadas conhecidas (para a>0):
\mathscr{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{k^{2}+a^{2}},\quad \mathscr{L}\{t\cos(at)\}=\frac{k^{2}-a^{2}}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.
Queremos uma combinação f(t)=C\,\sin(at)+D\,t\cos(at) cuja transformada seja
\frac{1}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 3

Escrevendo
\mathscr{L}\{f(t)\} = C\cdot\frac{a}{k^{2}+a^{2}} + D\cdot\frac{k^{2}-a^{2}}{(k^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{C\,a\,(k^{2}+a^{2})+D\,(k^{2}-a^{2})}{(k^{2}+a^{2})^{2}},
queremos o numerador igual a 1. Assim,
C\,a\,(k^{2}+a^{2})+D\,(k^{2}-a^{2})=1
para todo k. Agrupando termos em k^{2} e constantes:
k^{2}(C\,a+D)+\bigl(C\,a^{3}-D\,a^{2}\bigr)=1.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C\,a+D=0,\\\ C\,a^{3}-D\,a^{2}=1. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação D=-C\,a. Substituindo na segunda:
C\,a^{3}-(-C\,a)\,a^{2}=C\,a^{3}+C\,a^{3}=2\,a^{3}C=1 \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{2\,a^{3}},
D=-\frac{1}{2\,a^{3}}\;a=-\frac{1}{2\,a^{2}}.
Logo
f(t) =C\,\sin(at)+D\,t\cos(at) =\frac{1}{2\,a^{3}}\sin(at)-\frac{1}{2\,a^{2}}\,t\cos(at) =\frac{1}{2\,a^{3}}\bigl(\sin(at)-a\,t\cos(at)\bigr).

Passo 5

No nosso caso a=5. Assim
f(t) =\frac{1}{2\cdot5^{3}}\Bigl(\sin(5t)-5\,t\cos(5t)\Bigr) =\frac{1}{250}\bigl(\sin(5t)-5t\cos(5t)\bigr).

Resposta

\boxed{\,\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(5^{2}+k^{2})^{2}}\Bigr\} =\frac{1}{250}\bigl(\sin(5t)-5t\cos(5t)\bigr).\,}

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