Para os seguintes campos de vetores encontre o rotacional no ponto indicado:
B(x, y, z)=cos x sen y t-z
P=(0, pi, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar o rotacional do campo vetorial B(x, y, z) = cos x sin y, t - z, no ponto P = (0, pi, 1) . O conteúdo que vamos precisar envolve o conceito de rotacional (ou curl) de um campo vetorial. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional e calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos esclarecer qual é o campo vetorial B . Pelo enunciado, parece que está faltando uma componente no vetor. Vamos assumir que B(x, y, z) = (cos x sin y, 0, -z) , ou seja:
B = cos x sin y, i + 0, j - z, k
Agora, vamos calcular o rotacional de B .

Passo 3

O rotacional de um campo vetorial B = (Bx, By, Bz) é dado por:
nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z ) i + ( partial Bxpartial z - partial Bzpartial x ) j + ( partial Bypartial x - partial Bxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 4

Calculando a componente i :
partial Bzpartial y - partial Bypartial z = partial (-z)partial y - partial 0partial z = 0 - 0 = 0
Então, a primeira componente do rotacional é 0 .

Passo 5

Calculando a componente j :
partial Bxpartial z - partial Bzpartial x = partial (cos x sin y)partial z - partial (-z)partial x = 0 - 0 = 0
Portanto, a segunda componente do rotacional também é 0 .

Passo 6

Calculando a componente k :
partial Bypartial x - partial Bxpartial y = partial 0partial x - partial (cos x sin y)partial y = 0 - cos x cos y = -cos x cos y
Então, a terceira componente do rotacional é -cos x cos y .

Passo 7

Juntando todas as componentes, temos:
nabla times B = 0, i + 0, j - cos x cos y, k
Agora, vamos avaliar isso no ponto P = (0, pi, 1) .

Passo 8

Substituindo x = 0 e y = pi na expressão do rotacional:
- cos(0) cos(pi) = - (1) (-1) = 1
Assim, o rotacional no ponto P é:
nabla times B|P = 1, k

Resposta

O rotacional do campo vetorial B no ponto P = (0, pi, 1) é nabla times B = k .

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