Para os seguintes campos de vetores encontre o rotacional no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar o rotacional do campo vetorial no ponto . O conteúdo que vamos precisar envolve o conceito de rotacional (ou curl) de um campo vetorial. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional e calcular suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos esclarecer qual é o campo vetorial . Pelo enunciado, parece que está faltando uma componente no vetor. Vamos assumir que , ou seja:
Agora, vamos calcular o rotacional de .
Passo 3
O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente separadamente.
Passo 4
Calculando a componente :
Então, a primeira componente do rotacional é .
Passo 5
Calculando a componente :
Portanto, a segunda componente do rotacional também é .
Passo 6
Calculando a componente :
Então, a terceira componente do rotacional é .
Passo 7
Juntando todas as componentes, temos:
Agora, vamos avaliar isso no ponto .
Passo 8
Substituindo e na expressão do rotacional:
Assim, o rotacional no ponto é:
Resposta
O rotacional do campo vetorial B no ponto P = (0, pi, 1) é nabla times B = k .