(a) Dado que o fator integrante
da equação
é uma função apenas de
, mostre que
(b) Mostre que
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
(c) Resolva a equação diferencial exata para
.
(c) Resolva a equação diferencial exata para
Passo 1
O enunciado tem três partes. Na (a) pede para derivar a expressão do fator integrante
que depende só de
para uma equação diferencial
usando a condição de exatidão após multiplicar por
. Na (b) temos a equação
devemos mostrar que ela não é exata e então achar um fator integrante que a torne exata. Na (c) resolveremos a equação exata obtida para
. Vamos usar as definições de exatidão, fator integrante e potencial de uma eq. diferencial exata.
Passo 2
Se
, a equação multiplicada fica
e a condição de exatidão é
Como
depende só de
, isso dá
Logo
e integrando em
vem
Passo 3
Para a equação
temos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Usamos a fórmula de
do Passo 2:
Logo
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Chamando
verificamos
portanto a equação é exata.
Passo 6
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
:
e
é constante. Logo a solução implícita é
Resposta
(a)
(b) A eq. não é exata e o fator integrante é
(c) A solução geral para é
(b) A eq.
(c) A solução geral para