(a) Dado que o fator integrante mu(x) da equação
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
é uma função apenas de x, mostre que
mu(y)=exp integral My-NxN d x
(b) Mostre que
(x+y) d x+(x ln x) d y=0
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
(c) Resolva a equação diferencial exata para x>0.

Passo 1

O enunciado tem três partes. Na (a) pede para derivar a expressão do fator integrante mu(x) que depende só de x para uma equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
usando a condição de exatidão após multiplicar por mu(x). Na (b) temos a equação
(x+y),dx + (xln x),dy = 0,
devemos mostrar que ela não é exata e então achar um fator integrante que a torne exata. Na (c) resolveremos a equação exata obtida para x>0. Vamos usar as definições de exatidão, fator integrante e potencial de uma eq. diferencial exata.

Passo 2

Se mu=mu(x), a equação multiplicada fica
mu(x),M,dx + mu(x),N,dy = 0
e a condição de exatidão é
partialpartial yl(mu Mr) =partialpartial xl(mu Nr)
Como mu depende só de x, isso dá
mu,My =mu',N + mu,Nx Longrightarrow My-Nx=mu'mu,N
Logo
dlnmudx =mu'mu =My-NxN,
e integrando em x vem
boxedmu(x) =exp!l(integralMy-NxN,dxr)

Passo 3

Para a equação
(x+y),dx + (xln x),dy = 0
temos
M(x,y)=x+y, N(x,y)=xln x
Calculamos
My = 1, Nx = ddx(xln x) =ln x +1
Como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 4

Usamos a fórmula de mu(x) do Passo 2:
My-NxN =1-(ln x+1)xln x =-ln xxln x =-1x
Logo
mu(x) =exp!l(integral -tfrac1x,dxr) =exp(-ln x) =x^-1

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-1 obtemos
l(tfracx+yxr)dx + l(tfracxln xxr)dy =(1+tfrac yx),dx + (ln x),dy = 0
Chamando
tilde M=1+tfrac yx, tilde N=ln x,
verificamos
tilde My=tfrac1x, tilde Nx=tfrac1x,
portanto a equação é exata.

Passo 6

Como é exata, existe Phi(x,y) tal que
Phix = 1+ yx, Phiy = ln x
Integramos Phix em x:
Phi(x,y) =integrall(1+tfrac yxr),dx =x + yln x + h(y)
Derivando em y:
Phiy = ln x + h'(y) overset!= ln x Longrightarrow h'(y)=0
e h(y) é constante. Logo a solução implícita é
Phi(x,y)=x + yln x = C

Resposta

(a) mu(x)=exp!l(integral (My-Nx)/N ,dxr)
(b) A eq. (x+y),dx+(xln x),dy=0 não é exata e o fator integrante é mu(x)=x^-1
(c) A solução geral para x>0 é
x + y,ln x = C

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