integral 1x-x^1 / 5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x - x^1/5,dx
O conteúdo principal é usar mudança de variável para simplificar o denominador e depois aplicar uma segunda substituição para resolver uma forma do tipo integral t^3/(t^4-1),dt.

Passo 2

Fazemos a primeira mudança de variável definindo
t = x^1/5,
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x = t^5 e dx = 5,t^4,dt
No denominador temos
x - x^1/5 = t^5 - t = t,(t^4 - 1)
Substituindo em integral 1x - x^1/5,dx obtemos
integral 1t,(t^4-1);5,t^4,dt = integral 5,t^4t,(t^4-1),dt = integral 5,t^3t^4-1,dt

Passo 3

Para integral 5,t^3t^4-1,dt vemos que a derivada de t^4-1 é 4,t^3. Assim, fazemos
u = t^4 - 1 Longrightarrow du = 4,t^3,dt Longrightarrow t^3,dt = du4
A integral vira
integral 5,t^3t^4-1,dt = 5 integral t^3,dtu = 5 integral 1u,du4 = 54 integral duu = 54 lnl|ur| + C

Passo 4

Voltando a u = t^4 - 1 e t = x^1/5, temos
54 lnl|ur| + C = 54 lnl|t^4 - 1r| + C = 54 lnl|x^4/5 - 1r| + C

Resposta

boxedintegral 1x - x^1/5,dx = 54 lnl|x^4/5 - 1r| + C

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