Agora integramos os dois primeiros termos facilmente:
integral 2x,dx = 2ln|x|, integral 3xx^2+1,dx fazendo u=x^2+1, du=2x,dx,
integral 3xx^2+1,dx = 32integral duu = 32lnl(x^2+1r)
Passo 4
Falta integral 1(x^2+1)^2,dx.
Usamos a substituição trigonométrica x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta, e x^2+1=sec^2theta. Então
integral 1(x^2+1)^2,dx = integral sec^2thetasec^4theta,dtheta = integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C
Voltando a x, temos theta=arctan x e sin(2theta)=2tantheta/(1+tan^2theta)=2x/(x^2+1). Assim
integral 1(x^2+1)^2,dx = 12arctan x + x2,(x^2+1) + C
Passo 5
Somando tudo e absorvendo constantes em um único +C, a integral original é
2ln|x| ;+;32lnl(x^2+1r) ;+;12arctan x ;+;x2,(x^2+1) + C
Resposta
boxed integral 5x^4+7x^2+x+2x,(x^2+1)^2,dx =2ln|x|+tfrac32lnl(x^2+1r) +tfrac12arctan x+x2,(x^2+1)+C