integral 5 x^4+7 x^2+x+2x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral
integral 5x^4+7x^2+x+2x,(x^2+1)^2,dx
Isso é uma função racional em x. O método mais direto é usar decomposição em frações parciais, escrevendo
5x^4+7x^2+x+2x,(x^2+1)^2 =Ax+Bx+Cx^2+1+Dx+E(x^2+1)^2
Depois, integramos termo a termo usando integrais-padrão de 1x, xx^2+1 e 1(x^2+1)^2.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por x,(x^2+1)^2 e igualamos os polinômios:
5x^4+7x^2+x+2 = A,(x^2+1)^2 + (Bx+C),x,(x^2+1) + (Dx+E),x
Expandindo e coletando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
x^4: & A+B = 5, x^3: & C = 0, x^2: & 2A + B + D = 7, x^1: & C + E = 1, x^0: & A = 2
Dessas equações segue
A=2, B=5-A=3, C=0, E=1, D=7-2A-B=0
Logo a decomposição é
5x^4+7x^2+x+2x,(x^2+1)^2 = 2x + 3xx^2+1 + 1(x^2+1)^2

Passo 3

Agora integramos os dois primeiros termos facilmente:
integral 2x,dx = 2ln|x|, integral 3xx^2+1,dx fazendo u=x^2+1, du=2x,dx,
integral 3xx^2+1,dx = 32integral duu = 32lnl(x^2+1r)

Passo 4

Falta
integral 1(x^2+1)^2,dx.
Usamos a substituição trigonométrica x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta, e x^2+1=sec^2theta. Então
integral 1(x^2+1)^2,dx = integral sec^2thetasec^4theta,dtheta = integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C
Voltando a x, temos theta=arctan x e sin(2theta)=2tantheta/(1+tan^2theta)=2x/(x^2+1). Assim
integral 1(x^2+1)^2,dx = 12arctan x + x2,(x^2+1) + C

Passo 5

Somando tudo e absorvendo constantes em um único +C, a integral original é
2ln|x| ;+;32lnl(x^2+1r) ;+;12arctan x ;+;x2,(x^2+1) + C

Resposta

boxed integral 5x^4+7x^2+x+2x,(x^2+1)^2,dx =2ln|x|+tfrac32lnl(x^2+1r) +tfrac12arctan x+x2,(x^2+1)+C

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